《数理方程》总复习

《数理方程》总复习考试大纲与试卷结构典型例题分析NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案总复习考试大纲与试卷结构第一节一、考试大纲二、试卷结构NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案考试不涉及内容：(1)二维和三维波动方程的泊松公式;(2)14-15-2数理方程期末考试复习大纲含非齐次方程或非齐次边界条件的分离变量法;习题册为复习范围，其中后面四套模拟题为重点.注:(3)含有第三类边界条件的问题的求解;(4)积分变换法.NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案数理方程Ch1典型方程和定解条件的推导Ch2线性偏微分方程的解法Ch3行波法与微分算子法Ch4分离变量法考试主要内容：Ch5贝塞尔函数及应用(约15%)(约15%)(约30%)(约20%)(约20%)NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案试卷大体结构：一、单项选择题(每小题4分,共20分)二、填空题(每小题4分,共20分)三、解答题(7-9个小题,共60分)考试注意事项：1.书写规范,卷面整洁;2.写出详细的解题过程;3.少犯原则性错误.NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案总复习典型例题分析第二节一、模拟题1二、模拟题2三、模拟题3四、模拟题4NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案总复习模拟题1三、四、五、六NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案1.3.1求解2(,0)sin2,(,0)3ttxxtuauuxxuxx⎧=⎨==⎩解：由达朗贝尔公式得：11(,)[sin2()sin2()]322xatxatuxtxatxatdaξξ+−=−+++∫cos2sin23.atxxt=+NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案1.3.2求解26(,0)1,(0,)1xyuxuxuyy=⎧⎨==+⎩解：直接积分法.两端对y积分得：16(),xuxyfx=+上式两端对x积分得：2(,)3()(),uxyxyfxgy=++代入定解条件得：2(,0)()(0)1(1)(0,)(0)()1(2)uxfxguyfgyy=+=⎧⎨=+=+⎩(1)式中令x=0得：(0)(0)1,fg+=(1)+(2)可得：22()()2((0)(0))1fxgyyfgy+=+−+=+所以原问题的解为:22(,)31.uxyxyy=++NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案220320(,0),|xxxyyyxxyyuuuuxeue=−+=⎧⎨==⎩1.3.3求解:()()22320dydxdydx++=12xyC+=2Cyx=+2,xyxyξη=+⎧⎨=+⎩()(2)0dydxdydx++=特征线利用复合函数求偏导数的法则得标准型为0,uξη=通解为()()ufgξη=+=(2)().fxygxy+++解:特征方程做变换NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案利用初始条件，确定两个函数的具体形式.由②式得()()2'2'xfxgxe+=……………②()()211222xfxgxeC+=+()()22xfxgxe+=……………①.............③联立①和③可解得：2(2)2,()2xfxeCgxC=−=所以()2,xfxeC=−从而原问题的解为：22(,)22.xyxyuxyeCCe++=−+=①特征方程②特征线③标准型⑤代入定解条件求最终解④通解NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案1.4.1化简0034()2()()JxJxJx′′′′++解：0034()2()()JxJxJx′′′′++0203()()42()()2JxJxJxJx′−⎡⎤′=−++⎢⎥⎣⎦02032()2()2()()JxJxJxJx′′′=−+++1331()()()()JxJxJxJx=−+=1034[()]2()()JxJxJx′′′=−++()()()xJxJxJnnn'211=−+−NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案()()1[].nnnndxJxxJxdx−=30()xJxdx∫20()xxJxdx=∫i21[()]xxJxdx′=∫i211()()2xxJxxJxxdx=−∫ii3211()2()xJxxJxdx=−∫3212()2().xJxxJxC=−+1.4.2计算30()xJxdx∫NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案1.5.1求解22(,0)txxuauuxxx⎧=⎨=+⎩解：设2(),uxxgt=++i所以原问题的解为22(,)2.uxtxxat=++比较等式两端得2()2,ga=i代入方程有：2()(2()),gatg′′=+iiNORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案1.5.2求解22222110cos2rRuuurrrruRrθθ=⎧∂∂∂++=⎪∂∂∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩解：设2cos2,uArCθ=+所以原问题的解为21(,)cos2,2urrCθθ=+代入边界条件有：2cos2cos2,ARRθθ=1.2A=比较两端系数得：其中C为任意常数.0(cossin)nnnnnArnBrnθθ∞=+∑NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案1.6求解2(0,)(1,)0(,0)2(1),(,0)3sinttxxtuauututuxxxuxxπ⎧=⎪==⎨⎪=−=⎩解：设(,)()(),uxtXxTt=代入方程及边界条件得：2()()0()()0,(0)(1)0TtaTtXxXxXXλλ′′⎧+=⎪′′+=⎨⎪==⎩可得固有值为由边值问题()()0(0)(1)0XxXxXXλ′′+=⎧⎨==⎩2(),nnλπ=固有函数为()sin,(1,2,3,)nnXxBnxnπ==()cossinnnnTtAnatBnatππ=+NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案叠加解（傅里叶级数解）为1(,)(cossin)sin,nnnuxtanatbnatnxπππ∞==+∑又01sin3sin,ttnnunabnxxπππ∞====∑所以原问题的解为3138[1(1)](,)sinsincossin.()nnuxtatxnatnxanππππππ∞=−−=+∑因此13/(),0(1).nbabnπ==≠一族解(,)()()(cossin)sin,nnnnnuxtXxTtanatbnatnxπππ==+其中1308[1(1)]22(1)sin()nnaxxnxdxnππ−−=−=∫NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案总复习模拟题2三、四、五、六NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案330(,0)8xyxuuuxe+=⎧⎨=⎩2.3.1求解解:特征方程30dydx−=3xyC−=特征线通解为(3),ufxy=−又3(,0)(3)8,xuxfxe==所以()8,xfxe=从而原问题的解为3(,)8.xyuxye−=NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案2.3.2求解22(,0)sin2,(,0)3ttxxtuauuxxuxx⎧=⎨==⎩解：由达朗贝尔公式得：211(,)[sin2()sin2()]322xatxatuxtxatxatdaξξ+−=−+++∫223cos2sin23.atxxtat=++NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案2.4.1求解226(,0)123txxuauxuxxx⎧=+⎨=−+⎩解：2123(),uxxgt=−++i代入方程有：2()(6()).gagt′′=+ii比较两端系数得2()6.ga=i所以原问题的解为22(,)12366.uxtxxatxt=−+++设原问题的解是22(I)(,0)123txxuauuxxx⎧=⎨=−+⎩和26(II)(,0)0txxuauxux⎧=+⎨=⎩的解之和,先求(I)的解,易知(II)的解为6.uxt=从而(I)的解为221236,uxxat=−++NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案2.4.2求解2232()(,,,0)23,(,,,0)6ttxxyyzztuauuuuxyzxyyzuxyzy⎧=++⎨=++=⎩解:设2322312236()(),uxyyzyttgtg=+++++ii代入方程得：22312122()6()(21212()()).gtgayttgtg+=+++Δ+Δiiii令2122122()(212)6()12,()0()0gaygagg⎧=+⎪=⎪⎨Δ=⎪⎪Δ=⎩iiii得2122()(61).()2gyaga⎧=+⎨=⎩ii所以原问题的解为2322223()236(61)2.uxyyzytatyat=++++++iNORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案2.4.3求解22222110(0)2sin3cos2rauuurarrrruaθθθ=⎧∂∂∂++=⎪∂∂∂⎨⎪=+⎩解：设2sincos2,uArBrθθ=+所以原问题的解为223(,)sincos2.urrraaθθθ=+代入边界条件有：2sincos22sin3cos2,AaBaaθθθθ+=+23,.ABaa==比较两端系数得：0(cossin)nnnnnArnBrnθθ∞=+∑NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案()()210xyxyDDDDu⇔+++=2xyxyDDDDDDξη=+⎧⎨=+⎩令()01=+uDDηξ方程变为)()(),(ξηηξξgefu+=−通解为2.5.1求方程解：用微分算子法，将方程写成算子的形式22(32)0.xxyyxyDDDDDDu++++=320xxxyyyxyuuuuu++++=的通解NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结结束束目目录录总复习《数理方程》电子教案2xyxyDDDDDDξη=+⎧⎨=+⎩1,21,1xyxyξξηη==⎧⎨==⎩2xyξηξη=+⎧⎨=+⎩2yxxyξη=−⎧⎨=−⎩所以原方程的通解为：(,)(2)()xyuxyfxyegyx−=−+−(,)()()ufegξξηηξ−=+NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页上一页下一页下一页返返回回结