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18.1.2平行四边形对角线的性质1.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，下列说法正确的是()A．AC＝BD，OA＝OCB．AC⊥BD，OB＝ODC．OA＝OC，OB＝ODD．OA＝OD，OB＝OC2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝8，BD＝10，AB＝6，则△OAB的周长为()A．12B．13C．15D．163．如图，在▱ABCD中，两条对角线AC，BD将▱ABCD分成四个小三角形：△AOB，△AOD，△DOC，△BOC，则这四个小三角形的面积()A．都不相等B．不都相等C．都相等D．以上结论都有可能4．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB＝10cm，AD＝6cm，则AO＝________．5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别交于点E，F.求证：OE＝OF.6．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且两条对角线长的和为36，△OCD的周长为23，则AB的长为()A．5B．6C．7D．87．若平行四边形的两条对角线长是8cm和16cm则这个平行四边形的一边长可以是()A．3cmB．4cmC．8cmD．12cm8．如果平行四边形的一条边长为6cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是()A．8cm和3cmB．8cm和4cmC．8cm和5cmD．8cm和20cm9．如图，平行四边形ABCD的周长为120cm，AC，BD相交于点O，若△AOB的周长比△BOC的周长小10cm，则这个平行四边形的一组邻边长分别是()A．20cm，40cmB．25cm，35cmC．15cm，45cmD．10cm，50cm10．如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.5，则四边形BCEF的周长为()A．10B．9C．8D．711．请按要求，只用无刻度的直尺作图(请保留画图痕迹，不写作法)：如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，在图中画出∠AOB的平分线．12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC∶BD＝2∶3.求AC的长．13．如图18－1－24，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：AE＝CF.14．已知：如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：EB∥DF.15．如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别交于点M，N.(1)若四边形ABNM的面积为4，则平行四边形ABCD的面积为________；(2)若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则平行四边形ABCD的面积为________．16．如图，在平行四边形ABCD中，PQ，MN分别平行于DC，AD，PQ，MN交于点O，其中S四边形AMOP＝3，S四边形MBQO＝4，S四边形NCQO＝10，则△DMQ的面积＝________．17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.(1)若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40，求平行四边形ABCD的面积；(2)若AE＝3，AF＝4，∠EAF＝60°，求平行四边形ABCD的面积；(3)若∠EAF＝45°，且AE＋AF＝5，AB∶AD＝2∶3，求平行四边形ABCD的面积．18．如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE.(1)若∠D＝105°，∠DAF＝35°，求∠FAE的度数；(2)求证：AF＝CD＋CF.答案1．C2.C3.C4.4cm5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF.6．A7．C8．C9．B10．A11．解：如图所示，射线OP即为所求．12．解：∵AC⊥AB，∴∠BAO＝90°.∵AC∶BD＝2∶3，∴设AC＝2a，BD＝3a.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝12AC＝a，BO＝12BD＝1.5a.在Rt△BAO中，由勾股定理得：22＋a2＝(1.5a)2，解得a＝455，∴AC＝2a＝855.13．证明：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，OA＝OC.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEO＝∠DFO.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BEO≌△DFO，∴OE＝OF，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.14．证明：连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.∵AE＝CF，∴EO＝FO.∵∠EOB＝∠FOD，∴△EOB≌△FOD，∴∠OEB＝∠OFD，∴EB∥DF.15．(1)8(2)2416.17217．解：(1)∵平行四边形ABCD的周长为40，∴BC＋CD＝20.设BC＝x，则4x＝(20－x)×6，解得x＝12，∴平行四边形ABCD的面积为12×4＝48.(2)∵AE⊥BE，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.∵∠EAF＝60°，∴∠C＝120°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AB＝2BE，∴AB2－14AB2＝32，∴AB＝23(负值已舍去)，∴CD＝23.∵AF＝4，∴平行四边形ABCD的面积是4×23＝83.(3)设AE＝x，则AF＝5－x.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AEB＝∠AFD＝∠AFC＝90°.∵∠EAF＝45°，∴∠C＝135°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠B＝∠D，∴∠B＝∠D＝180°－135°＝45°，∴∠BAE＝∠DAF＝45°，即∠B＝∠BAE，∠D＝∠DAF，∴BE＝AE＝x，AF＝DF＝5－x.在△ABE和△ADF中，根据勾股定理得：AB＝2x，AD＝2(5－x)．∵AB∶AD＝2∶3，∴2x∶2(5－x)＝2∶3，解得x＝2，∴AE＝2，AF＝3，AB＝CD＝22，∴平行四边形ABCD的面积是22×3＝62.18．解：(1)∵∠D＝105°，∠DAF＝35°，∴∠DFA＝180°－∠D－∠DAF＝40°(三角形内角和定理)．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD(平行四边形的对边平行)，∴∠DFA＝∠FAB＝40°(两直线平行，内错角相等)．∵∠DFA＝2∠BAE(已知)，∴∠FAB＝2∠BAE(等量代换)，即∠FAE＋∠BAE＝2∠BAE，∴∠FAE＝∠BAE，∴2∠FAE＝40°，∴∠FAE＝20°.(2)证明：在AF上截取AG＝AB，连接EG，CG.又∵∠FAE＝∠BAE，AE＝AE，∴△AEG≌△AEB，∴EG＝BE，∠B＝∠AGE.又∵E为BC的中点，∴CE＝BE，∴EG＝CE，∴∠EGC＝∠ECG.∵AB∥CD，∴∠B＋∠BCD＝180°.又∵∠AGE＋∠EGF＝180°，∠AGE＝∠B，∴∠EGF＝∠BCD.又∵∠EGC＝∠ECG，∴∠FGC＝∠FCG，∴FG＝CF.又∵AG＝AB，AB＝CD，∴AF＝AG＋FG＝AB＋CF＝CD＋CF.