1-3.3(矩阵可逆的充要条件)

定理2设A为n阶矩阵，则如下命题等价:1.A是可逆的；2.AX=O只有零解；3.A与I行等价；4.A可表为有限个初等矩阵的乘积.则BX=0只有零解.2→3:证1→2:显然(why?)设A经一系列初等行变换化为行阶梯形B断言:B的对角元均非零否则B最后一行元均为零,BX=O有非零解,矛盾!于是B可经一系列初等行变换化为行简化阶梯形I三.矩阵可逆的充要条件§1.3逆矩阵由条件，A可经行初等变换得I.故存在初等矩阵使得1,...,kEE111111kkAEEIEE4→1:显然(why?)3→4:1kEEAI1.A是可逆的；2.AX=O只有零解；3.A与I行等价；4.A可表为有限个初等矩阵的乘积.§1.3逆矩阵推论设A为n阶矩阵，则AX=b有唯一解的充要条件是A可逆.证充分性:1XAb必要性:反证设AX=b有唯一解X0,但A不可逆.A不可逆AX=0有非零解Z.令Y=X0+Z,则Y为AX=b的解，矛盾!A可逆，则AX=b有唯一解[结束]§1.3逆矩阵