函数极值和其求法

函数的极值及其求法由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论.一、函数极值的定义oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x二、函数极值的求法设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.定理1(必要条件)定义.)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x注①这个结论又称为Fermat定理②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号③不可导点也可能是极值点可疑极值点：驻点、不可导点可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。(1)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx,有0)('xf，则)(xf在0x处取得极大值.(2)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx有0)('xf，则)(xf在0x处取得极小值.(3)如果当),(00xxx及),(00xxx时,)('xf符号相同,则)(xf在0x处无极值.定理2(第一充分条件)xyoxyo0x0x(是极值点情形)000(,)fxUx设在点连续，在某邻域内可导xyoxyo0x0x求极值的步骤:);()1(xf求导数;0)()2(的根求驻点，即方程xf;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查xf.)4(求极值(不是极值点情形)00,()xxfx0因为在区间上，000(,);f(x)f(x)xxx00,,()xxfx所以在区间上单调增()fx所以单调减0()fx故为极大值000()(),fxfxxxx(1),(2)(3)证只证与类似证明。00,()0xxxfx当时，，例1解963)(2xxxf，令0)(xf.3,121xx得驻点列表讨论x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf00极大值极小值)3(f极小值.22)1(f极大值,10)3)(1(3xx32()395.fxxxx求出函数的极值593)(23xxxxfMm图形如下2例32()(1).fxxx求函数的极值解232(1)()33xfxxx3523xx()02fxx5令得驻点；0()xfx当时，不存在列表讨论如下：320(0)0()20523xxff525为极大点，为极小点，极大值，极小值222(,0)0(0,)(,)555x330(2025f(x)极大）（极小）f(x)不存在0设)(xf在0x处具有二阶导数,且0)(0'xf,0)(0''xf,那末(1)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极小值.定理3(第二充分条件)证)1(xxfxxfxfx)()(lim)(0000,0异号，与故xxfxxf)()(00时，当0x)()(00xfxxf有,0时，当0x)()(00xfxxf有,0所以,函数)(xf在0x处取得极大值例3解.20243)(23的极值求出函数xxxxf2463)(2xxxf，令0)(xf.2,421xx得驻点)2)(4(3xx,66)(xxf)4(f,018)4(f故极大值,60)2(f,018)2(f故极小值.4820243)(23xxxxf图形如下Mm注意:.2,)(,0)(00仍用定理处不一定取极值在点时xxfxf例4解.)2(1)(32的极值求出函数xxf)2()2(32)(31xxxf.)(,2不存在时当xfx时，当2x;0)(xf时，当2x.0)(xf.)(1)2(的极大值为xff.)(在该点连续但函数xf注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.M例5)0(12,02aeaxxxx时证明证xeaxxxf12)(2记xeaxxf22)(则（不易判明符号）xexf2)(2ln0)(xxf得令0)(,2lnxfx时当0)(,2lnxfx时当的一个极大值点是)(2lnxfx而且是一个最大值点，)2(ln)(fxf222ln2a0)(,0xfx时0)0()(fxfxeaxx122即例620().10xxxfxxx求出函数的极值)ln1(2)(02xxxfxx时，.)(,0可能不存在时当xfx,1ex得驻点无驻点，时，,1)(0xfx,,01exx有两个可疑点：是极小值的极大值，为经判断知，)()(1)0(1efxff.)(在该点连续但函数xf解定理4(判别法的推广),0)(0)(xfn则:数,且1)当为偶数时,n是极小点;是极大点.2)当为奇数时,n为极值点,且不是极值点.))(()()(000xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)())((0nxxo当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.证:利用在点的泰勒公式,可得三、最值的求法oxyoxybaoxyabab.],[)(],[)(在上的最大值与最小值存在为零的点，则并且至多有有限个导数处可导，上连续，除个别点外处在若函数baxfbaxf)1292(2xx1224)9(209681012922xx)(xxf041x250x041x250x例7.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且,)1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx2,1,0321xxx故函数在0x取最小值0;在1x及25取最大值5.,)2)(1(6xx,)2)(1(6xx点击图片任意处播放\暂停例8敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？解公里5.0(1)建立敌我相距函数关系).(分追击至射击的时间处发起为我军从设Bt敌我相距函数22)24()5.0()(ttts公里4BA)(ts)(ts.)()2(的最小值点求tss)(ts.)24()5.0(5.7522ttt,0)(ts令得唯一驻点.5.1t.5.1分钟射击最好处发起追击后故得我军从B思考题下命题正确吗？如果0x为)(xf的极小值点，那么必存在0x的某邻域，在此邻域内，)(xf在0x的左侧下降，而在0x的右侧上升.思考题解答不正确．例0,20),1sin2(2)(2xxxxxf当0x时，)0()(fxf)1sin2(2xx0于是0x为)(xf的极小值点当0x时，当0x时，,0)1sin2(2xxx1cos在–1和1之间振荡因而)(xf在0x的两侧都不单调.故命题不成立．xxxxf1cos)1sin2(2)(