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2013年3月熟记知识点八年级上册课本第110--133页，熟记一次函数的相关知识点。一、知识要点：1、一次函数的概念：函数y=_______(k、b为常数，k______)叫做一次函数。当b_____时，函数y=____(k____)叫做正比例函数。kx＋b≠０=０≠０kx★理解一次函数概念应注意下面两点：（1）、解析式中自变量x的次数是___次;（2）、比例系数_____。1k≠02、正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过点（_____），(______)的_________。3、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点（0，___),（____，0)的__________。0，01，k一条直线b一条直线kb4、正确理解正比例函数与一次函数之间的关系从解析式上看：对于一次函数的一般形式y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)，当b＝0时，即可得到正比例函数的解析式y＝kx(k为常数，k≠0)．正比例函数是一次函数，一次函数包含正比例函数，二者不能并列；从函数图象上看：正比例函数y＝kx的图象与y轴交于原点(0,0)，一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于(0,b)点。由此可知，直线y＝kx通过适当的平移可得到直线y＝kx＋b。b大于0，把y=kx向上平移b个单位；b小于0，把y=kx向下平移│b│个单位。归纳：直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2且b1≠b2。5、正比例函数y=kx（k≠0)的性质：⑴当k0时，图象过______象限；y随x的增大而____。⑵当k0时，图象过______象限；y随x的增大而____。一、三增大二、四减小6、一次函数y=kx+b(k≠0)的性质：⑴当k0时，y随x的增大而_________。⑵当k0时，y随x的增大而_________。⑶根据下列一次函数y=kx+b(k≠0)的草图回答出各图中k、b的符号：增大减小k___0，b___0k___0，b___0k___0，b___0k___0，b___07、用函数观点看一次函数与一次方程(组)、不等式的内在联系用一次函数图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系：1、由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量x的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标；2、一元一次不等式都可以转化为ax＋b0或ax＋b0的形式，解一元一次不等式可以看做当一次函数的函数值y大于或小于0时，求自变量x相应的取值范围．从图象上看，一次函数y＝ax＋b的图象在x轴上的部分对应y0，这时对应的自变量x的所有取值为不等式ax＋b0的解集，同理，一次函数图象在x轴下方的部分对应的x的所有取值为ax＋b0的解集．利用一次函数的图象能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要．1．(2011·潼南)目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是()A．y＝0.05xB.y＝5xC．y＝100xD．y＝0.05x＋100解析：y＝(100×0.05)x＝5x.中考链接：B2．(2011·杭州)一个矩形被直线分成面积为x、y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是()解析：设矩形的面积为S，则x＋y＝S，y＝－x＋S，其中0xS.故选A.A3．(2011·江西)已知一次函数y＝x＋b的图象经过一、二、三象限，则b的值可以是()A．－2B．－1C．0D．2解析：因为直线过第一、二、三象限，所以k＝10，b0，故选D.D4．(2011·泰安)知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m、n的取值()A．m＞0，n＜2B．m＞0，n＞2C．m＜0，n＜2D．m＜0，n＞2解析：由直线位置得∴故选D.Dm＜0，n－2＞0，m＜0，n＞2，5．(2011·苏州)如图，已知A点坐标为(5,0)，直线y＝x＋b(b0)与y轴交于点B，连接AB，∠a＝75°，则b的值为()A．3B.C．4D.解析：因为直线y＝x＋b与x轴交点为（-b，0）与y轴交点为（0，b），故直线y＝x＋b与x轴交角为45°，又∠a＝75°，所以∠BAO＝30°，在Rt△AOB中，OA＝5，则由tan30°＝，得OB＝，即b＝.533534BOB5533533方法总结解有关一次函数y=kx+b的图象与性质的问题时，应注意以下三点：1、一次函数图象分布特征与k、b的符号之间的关系；2、一次函数图象的增减性与k的符号之间的关系；3、一次函数与两坐标轴的交点及围成的图形的面积。题型一一次函数y＝kx＋b中k、b对图象及性质的影响【例1】(1)一次函数y＝x＋2的图象不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为k=10,过一、三象限，b=20,过一、二象限，所以直线y＝x＋2经过第一、二、三象限，不经过第四象限，应选D.题型分类深度剖析D(2)一次函数的图象过点(0,2)，且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式．解析：设y＝kx＋2，又y随x的增大而增大，所以k0，∴符合条件的有：y＝x＋2(只需k0即可)．探究提高根据一次函数的性质，若已知系数k的符号就可以直接说出函数y的值随x增大的增减情况(即增减性)；反之，若知道一次函数的增减性，就能推断系数k的符号；一次函数的图象直线y＝kx＋b与y轴交点(0,b)，根据交点的位置，就能推断b的符号．y＝x＋2(只需k0即可)知能迁移1(1)(2011·衡阳)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为(2,0)，则下列说法：①y随x的增大而减小；②b0；③关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2.其中说法正确的有(把你认为说法正确的序号都填上)；①②③(2)已知一次函数y＝3x＋m－2的图象不经过第二象限，则m的取值范围是．解析：图象不过第二象限，则过一、三象限或一、三、四象限，所以m－2≤0，m≤2.m≤2题型二待定系数法求一次函数的解析式【例2】如图，直线l1、l2相交于点A(2,3)，直线l1与x轴的交点坐标为(－1,0)，直线l2与y轴的交点坐标为(0,－2)，结合图象解答下列问题：(1)求直线l1、l2的解析式；(2)求直线l1、l2与y轴围成的三角形的面积．解：(1)设直线l1的解析式为y1＝k1x＋b1，有得∴y1＝x＋1.同理：直线l2的解析式为y2＝x－2.(2)直线l1：y1＝x＋1与y轴交于点(0,1)；直线l2：y2＝x－2与y轴交于点(0,－2)．∴三角形的面积＝×[1－(－2)]×2＝3.探究提高k、b是一次函数y＝kx＋b的未知系数，这种先设待求函数关系式，再根据条件列出方程或方程组，求出未知数，从而得出所求结果的方法，就是待定系数法．3＝2k1＋b1,0＝－k1＋b1,k1＝1,b1＝1,525212知能迁移2(2011·福州)如图，在平面直角坐标系中，A、B均在边长为1的正方形网格格点上．(1)求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自变量x的取值范围；(2)将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，请画出线段BC.若直线BC的函数解析式为y＝mx＋n，则y随x的增大而(填“增大”或“减小”)．解：(1)设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b，依题意，得A(1,0)，B(0,2)，∴解得∴直线AB的函数解析式为y＝－2x＋2.当0≤y≤2时，自变量x的取值范围是0≤x≤1.(2)线段BC即为所求．答案：增大．0＝k＋b，2＝0＋b，k＝－2，b＝2，题型三一次函数与一次方程、一次不等式综合问题【例3】(1)已知一次函数y＝ax＋b(a≠0)中，x、y的部分对应值如下表，那么关于x的方程ax＋b＝0的解是．解析：观察表格，可得当x＝2时，y＝0，所以方程ax＋b＝0的解是x＝2.x－101234y6420－2－4x＝2(2)若直线y＝－x＋b与x轴交于点(2,0)，则关于x的不等式－x＋b0的解集是．解析：直线y＝－x＋b与x轴交于(2,0)，可知x＝2时y＝0，所以不等式－x＋b0的解是x2.探究提高进一步熟悉函数图象的作法，通过图象体会一次函数与一元一次方程，一元一次不等式的内在联系，提高识图能力，一次函数y＝kx＋b，当y＝0，则kx＋b＝0，得到一元一次方程，当y0，则有kx＋b0，得到一元一次不等式．尤其注意数形结合。x23x+1＞0【例4】观察图象，可以得出不等式组的解集是（）A.x＜1/3B.＜x＜0C.0＜x＜2D.＜x＜2－0.5x+1＞0yx2－1－1O1y＝3x+1y＝－0.5x+1131313D题型四方案优化问题【例4】在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x(张)，总费用为y(元)．现有两种购买方案：方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元(总费用＝广告赞助费＋门票费)；方案二：购买门票方式如图所示．解答下列问题：(1)方案一中，y与x的函数关系式为；方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为；当x＞100时，y与x的函数关系式为；(2)如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；(3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元．求甲、乙两单位各购买门票多少张．解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)y＝60x＋10000；[1分]当0≤x≤100时，y＝100x；[2分]当x100时，y＝80x＋2000.[3分](2)100x400时，选方案二购买；x＝400时，两种方案都可以；x400时，选方案一购买．[6分](3)设甲、乙单位购买本次足球赛门票分别是a张、b张,∵甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球赛门票,∴乙公司购买本次足球赛门票有两种情况b≤100或b100.①当b≤100时，解得不合题意，舍去．[8分]②当b100，解得符合题意．故甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为500张，200张.[10分]a＋b＝700,(60a＋10000)＋100b＝58000,a＝500,b＝150a＋b＝700,(60a＋10000)＋(80b＋2000)＝58000,a＝500,b＝200