一级倒立摆MATLAB仿真、能控能观性分析、数学模型、极点配置

题目一：考虑如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。倒立摆系统的参数包括：摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。图倒立摆系统设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量%≤10%，调节时间ts≤4s，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。要求：1、建立倒立摆系统的数学模型2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定4、用MATLAB进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。解：1建立一级倒立摆系统的数学模型1.1系统的物理模型如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M，摆杆的质量为m，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ，作用在小车上的水平控制力为u。这样，整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。图1一级倒立摆物理模型1.2建立系统状态空间表达式为简单起见，本文首先假设:(1)摆杆为刚体；(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦；(3)忽略小车与导轨之间的摩擦。在如图一所示的坐标下，小车的水平位置是y,摆杆的偏离位置的角度是θ，摆球的水平位置为y+lsinθ。这样，作为整个倒立摆系统来说，在说平方方向上，根据牛顿第二定律，得到ulydtdmdtdM)sin(y2222（1）对于摆球来说，在垂直于摆杆方向，由牛顿第二运动定律，得到sin)siny(m22mgldtd（2）方程(1)，(2)是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零是合理的。则sinθ≈θ，cosθ≈1。在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得倒umlM....ym）（（3）mglm....my（4）对于（3）（4）两个式子联立求解，得到uM1Mmg-y..（5）uMlgM1Mmθ..）（（6）如果选择位移y、速度.y、角度θ和角速度.θ为系统的状态变量，位移y为系统的输出，控制力u为输入量，并令x1=y,..12xyx,θx3,..34θxx,则得到系统的状态表达式为：u1010000100000000104321.4.3.2.1MlMxxxxgMlmMgMmxxxx）（（7-a）43210001yxxxx（7-b）2分析系统的性能指标——能控性、能观测性、稳定性设系统的参数为M=1kg,m=0.1kg,l=1m,重力加速度g=9.81m/s2,于是1981.0mgM1179.10lm)gMM（11M1l1M故u1010011001000010000104321.4.3.2.1xxxxxxxx（8-a）43210001yxxxx（8-b）故而有：A=[0100;00-10;0001;00110];B=[0;1;0;-1];C=[1000];2.1能控性在MATLAB中，输入A=[0100;00-10;0001;00110];B=[0;1;0;-1];C=[1000];Qc=[BA*BA*A*BA*A*A*B]得到Qc=010110100-10-11-10-110再输入rank(Qc)，得到ans=4于是系统是能控的。2.2能观测性在MATLAB中，输入A=[0100;00-10;0001;00110];B=[0;1;0;-1];C=[1000];Q0=[C;C*A;C*A*A;C*A*A*A];得到Q0=1000010000-10000-1再输入rank(Q0)ans=4于是系统是能观测的。2.3稳定性计算det[λI-A]=0；求得的结果是λ1=0；λ2=0；λ3=11；λ4=-11。因为结果不全是负实部，故而该系统不稳定。3状态反馈系统的极点配置以及求状态反馈阵3.1状态反馈阵极点配置因为我们知道，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控的。可以通过状态反馈来任意配置极点。希望的极点为s1=-6，s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5。3.2求状态反馈阵在MATLAB中输入命定A=[0100;00-10;0001;00110];B=[0;1;0;-1];P=[-6-6.5-7-7.5];K=place(A,B,P)得到计算结果为:K=-204.7500-122.1750-488.5000-149.17504MATLAB程序设计利用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如图所示运行仿真程序，得到的仿真曲线如下图所示从上图可以看出，可以将倒立摆的杆子控制在与竖直方向偏角θ=0°的位置。题目二：根据自身的课题情况，任意选择一个被控对象，按照上题所示步骤进行分析和设计，并给出仿真程序及其执行结果。解：塑料球漂浮分析仿真目标：小球在空中受重力mg，在竖直向上的风中保持漂浮在空中的稳定状态。1建模分析小球在风向（如图所示）下保持稳定的状态。小球质量为m，风速为0v，简化风对球的阻y球风向力正比于相对速度，比例系数为f，球下落正向坐标为y，输入u为与风速相关的控制力。数学模型：myfyu11222xyxxyfufuxyyxmmmm112201010xxufxxmm1210xyx由数学模型可知可设：0101A，01B,10C,34P,12KKK2控制分析2.1能控性分析：rank（BAB）=2，系统能控2.2能观性分析：rank（CCA）=2，系统能观2.3稳定性分析：12det()0,0,1IA,不全为复实数，故系统不稳定3求状态反馈阵K在matlab中输入K=place（A,B,P）,可求得反馈阵128K。4MATLAB仿真4.1Matlab中simulink建立4.2Matlab中simulink仿真结果由仿真结果可知，小球会逐渐趋于稳定，模型得到验证。