画法几何-直线-直线的相对位置直角投影定理直角三角性法

同学们好！大家好!•第三章直线第二节各种位置直线第一节直线的投影第三节一般位置线段的实长及其对投影的倾角第四节两直线的相对位置第五节直角投影定理直线的投影仍为直线，两点确定一条直线，直线上两点的投影用直线连接，就得到直线的投影。b第一节直线的投影直线垂直于投影面其投影积聚为一点(积聚性)作CB//ab,则∠ABC为直线AB对投影面H的倾角α.直线倾斜于投影面其投影比实长短:ab=AB·cosα(类似性）直线平行于投影面其投影反映线段实长:fg=FG（真实性）投影特性FABae(d)DECα(c)gfGC投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（只平行于Ｖ面）侧平线（只平行于Ｗ面）水平线（只平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线垂直于某一投影面(平行于另两投影面)返回第二节各种位置直线特殊位置直线一、直线的分类：VX0ZYW二、相对投影面各种位置直线的投影•一般位置直线的三个投影仍为直线；三个投影都倾斜于投影轴；投影长度小于线段的实长；投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。b'a'b'a'b''a''bab''a''baAB一般位置直线ABβγαXZYHYWOb'a'b''a''baXZYWO•直线上点的投影，必在直线的同面投影上；•（c∈ab,c'∈a'b',c''∈a''b'')•线段上的点分割线段之比，投影后保持不变。•AC/CB=ac/cb=a'c'/c'b'=a''b''/c''b'')1.一般位置直线上点的投影VX0ZYWXYWYHb'a'b''a''baABC是直线AB上的点ABc'c''c0Zb'a'b''a''bac'c''cC例1如图中黑色的图形所示，作出分线段AB为3:2的点c的两面投影。0作法：1.过点a任作一条直线ae；2.在ae上截取五等分；3.连接be；4.在离点a三等分点处作直线平行于be，交ab上一点c；5.过点c作直线垂直于ox,交a′b′于点c′。点C(c,c′)即为所求。aba'b'c'cexVX0ZYW2.投影面平行线X0ZYWYHb'a'b''a''ba1)正平线（投影面V的平行线AB）αγαγAB投影特性：1.ab//OZ，ab//OX；2.a'b'=AB；3.正面投影反映α、γ角的真实大小。bab'a'b''a''ABABABVX0ZYW投影特性：1.a'b'//OX，ab//OYw；2.ab=AB；即：水平投影反映线段实长及β、γ角的真实大小。aa'b'a''bb''Xa'b'a''b''ba0zYHYWβγ2)水平线（投影面H的平行线AB）ABβγ3)侧平线（投影面W的平行线AB）XZa'b'b''baOYHYWa''αβVX0ZYWaa'b'a''b''bABβα•（小结）投影面平行线的投影特性：•1.在直线所平行的投影面上的投影，反映线段实长；它与投影轴的夹角，分别反映直线与另两投影面夹角的真实大小。•2.在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。3.投影面垂直线VX0ZYW1)正垂线(投影面V的垂直线AB)(b')a'ABb''a''babab''a''(b')a'投影特性：1.a'(b')积聚成一点2.ab⊥Ox；a''b''⊥Oz3.ab=a''b''=ABzxyHyHo(投影面H的垂直线AB)投影特性：1、ab积聚成一点2、a'b'⊥ox,a''b''⊥oyw3、a'b'=a''b''=ABzb'xa'b''a(b)oYHYWa''VX0ZYWa''b''b'a'a(b)AB2)铅垂线(投影面W的垂直线AB)投影面垂直线的投影特性：1.在与直线垂直的投影面上的投影积聚成一点。2.在另外两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴且反映线段实长。VX0ZYWbaa'b'a''(b'')ABZxa''(b'')b'aoYHYWa'b3)侧垂线zz1oxa′b′abk′k12例2侧平线上的点已知AB的两面投影及其上面的点K的正面投影，求点K的水平投影。利用点在线上分割线段成定比，投影后不变的性质作图。第三节一般位置线段的实长及其对投影面的倾角•方法是：以线段在某一投影面上的投影长为一直角边，两端点与这个投影面的距离差为另一直角边形成的直角三角形。其斜边是线段的实长，斜边与投影长的夹角就是该直线与这个投影面的倾角。VX0ZYWb'a'b''a''baABαγβX0ZYWYHb'a'b''a''ba在正面投影上求线段实长与倾角β在水平投影上求线段实长与倾角α在侧面投影上求线段实长与倾角γ实长βγα实长实长ββγ直角三角形法Bo直角三角形求线段实长及其与投影面的倾角中的三个三角形设所求线段为AB在三个直角三角形中，斜边为线段实长；一个直角边为某投影长，该投影与斜边的夹角为该直线与投影面的夹角；夹角所对的边为线段两端点相应的坐标差。αAB线段实长ΔZABab的长γAB线段实长ΔXABa''b''的长AB线段实长ΔYABa'b'的长例1已知线段的实长AB，求它的水平投影。aAB根据已知条件，要求得ab，其方法一是求得A、B两点的Y坐标差(ΔYAB)；方法二是求得ab的长。此题有两解(多解时一般只画一解）b'xa'obABb'xa'obABb'xa'oba'b'方法二已知线段的实长AB，求它的水平投影。aAB此题有两解b'xa'ob解法二方法三：求出ab的长ABb'xa'obABxa'bABBaΔZAB12以AB两点的Z坐标差为一直角边的直角三角形中，另一直角边为AB水平投影ab的长。即：12=abΔZAB例2已知直线AB的α=30°求作AB的正面投影。oxaba′b′30°1.分析要求得a′b′，其实就是求b′；要求得b′也就是想办法找到A、B两点的Z坐标差或者求出a′b′的长。B02.作图1）作ΔabB0,使∠α=30°∠A的对边为ΔZAB2）过a′作直线平行于Ox轴，与过b而垂直于ox轴的直线交于一点b03）以b0为圆心以ΔZAB为半径画圆弧，交bb0的延长线于点b′4）用直线连接a′b′即为所求。b0oxaa′b′kbcdd′c′6820k′例3已知CD∩AB=K，CD∥H，求CD的正面投影。求k′同前。由于CD∥H所以c′d′∥ox轴。同学们好！第四节两直线的相对位置分析：1.已知AB∥CD,根据正投影图的作图法可知：(AaP∥BbP∥CcP∥DcP)⊥P面，则平面ABbPaP∥CDdPcP；2.两个平行平面（ABbPaP与CDdPcP）与第三平面（P—可被看作是H、V、W面）相交，交线平行；3.综上所述，我们可以得出：若空间两直线平行那么他们的同面投影也对应平行（如：ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″）一.两平行直线XZYWOYHXZYWOBDa′b′aba″b″cdd′c′d″c″AaPbPCcPdPAXYHXZYWOa′b′aba″b″cdd′c′d″c″例1判断两直线是否平行aa'bd'c'b'cdox方法一：看直线的方位：由投影图可以看出ab、cd同向（均由后向前）；a'b'与c'd'反向（a'b'由上向下，c'd'由下向上）由此看出AB与CD不平行。方法二：看比例：a'b'/c'd'≈1,ab/cd＜1,由此可知，AB不平行于CD。例2如图所示，判断两侧平线的相对位置。bX0a'cdd'c'b'a作辅助直线AD与BC的两面投影,判断：AD与BC是两相交直线,则AB与CD共面.只要证明AB与CD共面则有AB∥CD。X0a'bcc'b'ab''c''d''ccca'bc'b'caa'bc'b'cdYWX0a'bcc'b'ab''c''d''ccca'bc'b'caa'bc'b'cdYWX0a'bcc'ab''c''d''ccca'bc'caa'bc'cdYWX0a'bcc'ac''d''ca'bc'aa'bd'c'dYWYHa''Z方法三：求第三投影(三个投影都互相平行，则AB∥CD)方法四：看已知的二直线是否共面abcdcabd例3判断图中两条直线是否平行。由此可知：对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。即AB//CD返回11∴ab:cd=ab:cd∵ab∥cd,ab∥cd△ab1∽△1cd;△ab1∽△1cd;∴a1:1d=a1:1daa∥11∥dd∴AB与CD共面ab∥cd,ab∥cdox二、两相交直线因此，三对同面投影都相交，且交点符合点的三面投影特规律ZYHa'bX0YWb'b''a''ae''e'ed'c'd''c''dcABCDEapbpcpdpe两直线相交有且仅有一个交点（E）交点是相交两直线的公有点（P面可以看作H、V、W面）例1已知AB与CD相交，又知AB的两面投影及CD的正面投影cd，且CD平行于V面。求CD的水平投影abcdaboxk分析：∵AB∩CD=K∴K∈AB，K∈CD∴k∈ab，k∈cdak/kb=ak/kb又因为AB平行于W面，所以cd//ox轴。用定比分点法求k。解：1.过a任作一条直线ae；2.在ae上截取a1=ab；a2=ak的长度3.连接1b4.作2k∥1b,与ab交于点k5.过k作直线平行于ox轴6.过c、d作直线垂直于ox,交上述直线于点c、de12cd三、交错直线•交错两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不符合相交两直线的投影特性。XXXXYHXXXXb'a'ae'ec'cfb'a'ae'ec'cfb'a'ae'ec'cfb'a'aec'cfb'a'aec'cfb'a'aec'cfb'a'aec'cfb'a'aec'cfb'a'aec'cfb'a'ac'cAB与CD交错，为什么他们在P面上的投影相交呢？因为直线AB上的点F和直线CD上的点E位于指向P面的同一条投射线上，所以点F、E在P面上的投影重合，点F的投影可见而点E的投影不可见。ZYH0YWb''a''be''d'd''c''df''0YWa''be''d'd''c''df''b''a''be''d'd''c''df''0YWa''be''d'd''c''df''0YWa''be''d'd''c''df''0YWb''a''be''d'd''c''df''0YWa''be''d'd''c''df''b''a''be''d'd''c''df''0YWa''be''d'd''c''df''0YWe''d'd''c''df''dddpbp(f')ABDapFEfp（ep）ScpfaZYH0YWb'b''a''be''d'd''c''df''0YWb'a''be''d'd''c''df''b'b''a''be''d'd''c''df''0YWb'a''be''d'd''c''df''0YWb'a''be''d'd''c''df''0YWb'b''a''be''d'd''c''df''0YWb'a''be''d'd''c''df''b'b''a''be''d'd''c''df''0YWb'a''be''d'd''c''df''0YWb'e''d'd''c''df''dda'ae'efa'ae'efa'ae'efa'aefa'aefa'aefa'aefa'aefa'aefa'acAB与CD交错，为什么他们在P面上的投影相交呢？因为直线AB上的点F和直线CD上的点E位于指向P面的同一条投射线上，所以点F、E在P面上的投影重合，点F的投影可见，本题中点E、F是对V面的一对重影点；点E在前，所以点F的正面投影f'不可见。(f')C例1判断两直线的相对位置xa'ac'd'dcbb'od''a''c''b''yzy解法1:作出侧面投影,由三面投影可知,两直线交错xa'ac'd'dcbb'o例2判断两直线的相对位置(解法2)1'1用点分割直线段之比，投影后保持不变的性质判断。由水平投影可判断，点Ⅰ不属于直线AB，故两直线交错。第五节直角投影定理直角投影定理：互相垂直的两直线，当一边为某投影面的平行线时，他们在该投影面上的