2019-2020年高中数学-10.3《组合·第二课时》教案-旧人教版必修

2019-2020年高中数学10.3《组合·第二课时》教案旧人教版必修●教学目标（一）教学知识点组合数的公式、组合数的性质.（二）能力训练要求1.进一步熟悉组合数的公式.2.理解并掌握组合数的两个性质.3.能够运用组合数公式及两个性质解决有关问题.（三）德育渗透目标通过组合数性质的推导过程，要求学生会用联系的观点看问题，用转化的思想解决问题.●教学重点组合数的性质.●教学难点转化思想的应用.●教学方法启发式本节重点研究组合数公式，要求大家在对同一问题从不同角度、用不同方法解决时，给出不同的解释，从而获得组合数的性质.对于组合数的两个性质，不必要求学生记忆，而是启发学生理解与其相关的实际模型，并能从不同角度作出解释.●教具准备投影片.第一张：问题一及解答（记作10.3.2A）第二张：性质一证明（记作10.3.2B）第三张：性质二证明（记作10.3.2C）第四张：本节例题（记作10.3.2D）●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］上一节我们学习了组合数公式，下面我们来计算两个组合数.（给出投影片10.3.2A）C===120,C==120,即C=C.［师］为何不同组合数结果相同呢？怎样对这一结果进行解释呢？［生］从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素.就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的（10-7）个元素的组合是一一对应的.因此，从10个元素中取出7个元素的组合数，与从这10个元素中取出（10-7）个元素的组合数是相等的，即有C=C.［师］回答得很好，如果上述情况加以推广，我们就可以得到组合数的性质1.性质1：C=C.证明：由组合数性质有C=,C==,∴C=C.［师］针对性质1，我们说明两点：（1）为简化计算，当m＞时，通常将计算C改为计算C;(2)为了使性质1在m=n时也能成立，我们规定：C=1.［师］下面，我们来看一道例题.［例1］一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？分析：此题三问只需将球取出即可，并无顺序，故对应的是组合数.解：（1）从口袋内8球中取3个，取法是C==56.（2）从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C==21.（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C==35.［师］从此例题的结果我们能否发现什么？［生］第（1）问的结果等于第（2）、（3）问的和，即C=C+C.［师］你能对这一结果作出解释吗？［生］从口袋内的8个球中所取出的3个球，可分为两类：一类含1个黑球；另一类不含有黑球.由分类计数原理可知上述等式成立.［师］下面，我们将此类情形推广，便可得到组合数的性质2.性质2：C=C+C.证明：由组合数公式有C+C=+=)!1(!!)1(!mnmmnmnn==C.C=C+C.［师］对于这一性质的应用，我们将在下一小节看到.［例2］求证：C+3C+3C+C=C.证明：C+3C+3C+C=（C+C）+2(C+C)+(C+C)=C+2C+C=(C+C)+(C+C)=C+C=C.评述：此证明要求灵活应用组合数的相关性质.Ⅲ.课堂练习课本P99练习1、2、3、4、5、6.Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要求在理解并掌握组合数的两个性质的基础上，能够运用组合数公式及两个性质解决相关问题，并简单了解组合知识在实际中的应用.Ⅴ.课后作业（一）课本P100习题10.32、6、7、8.（二）1.预习课本P98～P99例3、例5.2.预习提纲（1）试归纳组合问题的应用类型.（2）逆向思考方法在哪些题目中有应用.●板书设计10.3.2组合（二）性质1例1例2C=C解答过程性质2学生练习C=C+C2019-2020年高中数学10.3《组合·第四课时》教案旧人教版必修●教学目标（一）教学知识点排列、组合、排列数、组合数、捆绑法、插空法.（二）能力训练要求1.能够判断所研究问题是否是排列或组合问题.2.进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能.3.熟练应用排列组合问题常见的解题方法.4.进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力.（三）德育渗透目标1.用联系的观点看问题.2.认识事物在一定条件下的相互转化.3.解决问题能抓住问题的本质.●教学重点排列数、组合数公式的应用.●教学难点解题思路的分析.●教学方法启发式、引导式启发学生认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主要矛盾，引导学生注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要求学生注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力.●教具准备投影片.第一张：排列数、组合数公式（记作10.3.4A）第二张：本节例题（记作10.3.4B）第三张：补充练习题（记作10.3.4C）●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］上一节我们一起研究学习了排列组合的实际应用题，逐步熟悉了排列数与组合数公式，并总结了相邻问题与不相邻问题的常用方法.下面，我们作一简要回顾.［生甲］排列数公式：A=.组合数公式：C=.［生乙］相邻问题常用捆绑法；不相邻问题常用插空法.［师］这一节，我们通过例题进一步研究排列组合知识在实际中的应用，并关注转化思想在解题中的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］平面上有11个相异的点，过其中任意两点相异的直线有48条.（1）这11个点中，含3个或3个以上的点的直线有几条？（2）这11个点构成几个三角形？分析：若平面上11点中任意两点有一条不同直线，则共有C==55条.故直线总条数减少了55-48=7条.而每增加一组3点共线直线总条数减少C-1=2条，每增加一组4点共线，直线总条数减少C-1=5条……，故此题第（1）问是考虑7被2与5分解的不同方式，第（2）问则可以采用分类的思想求解.解：（1）若任三点不共线，则所有直线的总条数为C==55条；每增加一组三点共线，连成直线就将减少C=2条；每增加一组四点共线，连成直线就将减少C-1=5条；每增加一组五点共线，连成直线就将减少C-1=9条.∴55-48=7=2+5.故含有3个点、4个点的直线各1条.（2）若任意三点不共线，则11个点可构成三角形个数为C==165(个）.每增加一组三点共线三角形个数减少1个，每增加一组四点共线三角形个数减少C个，故所求不同三角形个数为C-（1+C）=160个.评述：第（2）问采用逆向思考方法，即考虑总体除去减少的三角形，思路清晰，若直接求解，则情形较多，要求学生注意“正难则反”的解题思想应用.［例2］如图，直线l1与l2相交于点P，除点P外，在直线l1上还有A1,A2,A3,A4四点，在直线l2上还有B1,B2,B3,B4,B5五点.若在A1，A2，A3，A4这四点中任取一点与B1，B2，B3，B4，B5这五点中各取一点连成一条直线，问交点的个数最多有几个？［师］大家在审读题目内容后可以畅谈自己的看法.［生甲］连结A1B2,则A2B1,A3B1,A4B1分别与A1B2各有一交点，共有3个交点，再考虑各点与B2连结后交点的增加情况……［生乙］我也按照甲同学的思路考虑，但情形较为复杂，不易确定所求.［生丙］为了避免遗漏和重复，根据四边形对角形交点唯一，可以考虑构成不同四边形个数的多少.可分两步完成：第一步，从l1上A1~A4四点中任取两点，有C种不同取法；第二步：从l2上B1~B5五点中任取两点，共有C种不同取法.根据分步计数原理共有C·C种不同取法，而每种取法对应不同的四边形，四边形的对角线有唯一交点，故所求最多交点个数为C·C个.［师］接下来，我们根据丙同学的思路共同写出解答过程.解：若各点连线交点不重合，则交点最多.共分两步：第一步：从l1上A1~A4四点中取两点，有C种不同取法；第二步：从l2上B1~B5五点中任取两点，有C种不同取法.根据分步计数原理共有C·C=60(种)不同取法.而每种取法对应不同的四边形，四边形对角线有唯一交点，故所求最多交点个数为60个.评述：此题关键是将求交点个数问题转化为四边形对角线交点问题，使解题思路豁然开朗，要求学生加以体会.［师］下面我们再做一道相关性练习.已知空间有8个点，其中任意三点不共线，任意四点不共面，若两条异面直线称为“一对”异面直线，问共有多少对不同的异面直线？［师］此题可考虑构造含有异面直线的几何体，联系例2的解法求解.［生丁］因为在立体几何学习中，我们知道，在三棱锥中有三对异面直线，故可以考虑构成不同三棱锥的个数，而空间8个点中任取4个不共面，可构成一个三棱锥，共可构成不同三棱锥C个，所以共有不同的异面直线3×C=210(对).Ⅲ.课堂练习（给出投影片10.3.4C）1.平面内有n个点，如果有m个点共线，其余各点没任何三点共线，这n个点可连成多少条直线？连成多少个三角形？分析：此题可以从m个点共线而减少的直线和三角形入手，采用间接求法.解：若无任何三点共线，n个点可以连成直线C条；而m点共线则减少C-1条直线,所以n个点可连成C-(C-1)=-+1条直线.若无任何三点共线，n个点可以连成三角形C个，而m点共线，三角形个数减少C个，故这n个点可以连成三角形C-C(个).2.由6名运动员中选4人参加400米混合泳接力，其中甲不游仰泳，乙不游蝶泳，共有多少种选派方法？分析：从仰泳与蝶泳两种方式中选取一种作为分类的出发点，然后分步进行.（1）蝶泳选派甲时，其余3人任意排列，有A种不同选法；（2）蝶泳选派甲、乙以外的4人有4种选法，接着定仰泳有4种方法，再定另外2名有A种方法，由分步计数原理有4×４×A种方法.再由分类计数原理，共有A+4×４×A=252（种）.Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉排列组合在实际中的应用，掌握常见的分析、解决问题的方法，并体会基本原理及转化思想在解题中的应用，逐步增强分析问题、解决问题的能力.Ⅴ.课后作业（一）课本P100习题10.311、12、13.（二）1.预习课本P104～P106.2.预习提纲（1）二项式定理的内容.（2）二项式有哪些相关概念？（3）二项式系数与系数有何区别？●板书设计10.3.4排列组合应用（二）Ⅰ.方法归纳例1学生练习1.相邻问题例2捆绑法解答过程2.不相邻问题评述要点插空法3.转化思想的应用