组合教案

1二、讲解新课：1奎屯王新敞新疆组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合奎屯王新敞新疆说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同奎屯王新敞新疆例1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号mnC表示．3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,abcd中取出3个元素的组合数34C是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A可以求得，故我们可以考察一下34C和34A的关系，如下：组合排列dcbcdbbdcdbccbdbcdbcddcacdaadcdaccadacdacddbabdaadbdabbadabdabdcbabcaacbcabbacabcabc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A种方法．由分步计数原理得：34A＝34C33A，所以，333434AAC．（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC；②求每一个组合中m个元素全排列数mmA，根据分步计数原理得：mnA＝mnCmmA．2（3）组合数的公式：(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm或)!(!!mnmnCmn),,(nmNmn且奎屯王新敞新疆规定:01nC.三、讲解范例：例2．计算：（1）47C；（2）710C；（1）解：4776544!C＝35；（2）解法1：710109876547!C＝120．解法2：71010!10987!3!3!C＝120．例3．求证：11mnmnCmnmC．证明：∵)!(!!mnmnCmn111!(1)!(1)!mnmmnCnmnmmnm＝1!(1)!()(1)!mnmnmnm＝!!()!nmnm∴11mnmnCmnmC例4．设,Nx求321132xxxxCC的值奎屯王新敞新疆解：由题意可得：321132xxxx，解得24x，∵xN，∴2x或3x或4x，当2x时原式值为7；当3x时原式值为7；当4x时原式值为11．∴所求值为4或7或11．例5．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个3从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（2)，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解：(1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有C｝手＝12376（种）.(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出n人组成上场小组，共有1117C种选法；第2步，从选出的n人中选出1名守门员，共有111C种选法．所以教练员做这件事情的方法数有1111711CC=136136（种）.例6．（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有2101094512C（条）.(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A（条）.例7．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件.(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有31001009998123C=161700（种）.(2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有12C种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有298C种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有12298CC=9506(种).(3）解法1从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298CC种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有12298CC+21298CC=9604（种）.解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出34件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即3310098CC=161700-152096=9604（种）.说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；例8．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？解：90222426CCC．（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？解：问题可以分成2类：第一类2名男生和2名女生参加，有225460CC中选法；第二类3名男生和1名女生参加，有315440CC中选法奎屯王新敞新疆依据分类计数原理，共有100种选法奎屯王新敞新疆错解：211546240CCC种选法奎屯王新敞新疆引导学生用直接法检验，可知重复的很多奎屯王新敞新疆例9．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C，1624CC，2614CC，所以，一共有34C+1624CC+2614CC＝100种方法．解法二：（间接法）10036310CC奎屯王新敞新疆组合数的性质1：mnnmnCC．一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：mnnmnCC．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想奎屯王新敞新疆证明：∵)!(!!)]!([)!(!mnmnmnnmnnCmnn又)!(!!mnmnCmn，∴mnnmnCC奎屯王新敞新疆5说明：①规定：10nC；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2nm时，计算mnC可变为计算mnnC，能够使运算简化.例如20012002C＝200120022002C＝12002C=2002；④ynxnCCyx或nyx．2．组合数的性质2：mnC1＝mnC+1mnC．一般地，从121,,,naaa这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是mnC1，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a，一类不含有1a．含有1a的组合是从132,,,naaa这n个元素中取出m1个元素与1a组成的，共有1mnC个；不含有1a的组合是从132,,,naaa这n个元素中取出m个元素组成的，共有mnC个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1mnmnmnmnCCmnmn)!1(!!)1(!mnmmnmnn)!1(!!)1(mnmnmmn)!1(!)!1(mnmnmnC1∴mnC1＝mnC+1mnC．说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算奎屯王新敞新疆例10．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1）5638C,或38C27C37C，；（2）2127C；（3）3537C．例11．（1）计算：69584737CCCC；（2）求证：nmC2＝nmC+12nmC+2nmC．解：（1）原式4565664889991010210CCCCCCC；证明：（2）右边1121112()()nnnnnnnmmmmmmmCCCCCCC左边奎屯王新敞新疆6例12．第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？答案是：642248824C，这题如果作为习题课应如何分析奎屯王新敞新疆解：可分为如下几类比赛：⑴小组循环赛：每组有6场，8个小组共有48场；⑵八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；⑶四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8强中每两个队比赛一场，可以决出4强，共有4场；⑷半决赛：根据抽签规则，4强中每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；⑸决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两队比赛1场决出第三、四名共有2场.综上，共有642248824C场奎屯王新敞新疆四、课堂练习：1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（）A．42B．21C．7D．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（）A．15对B．25对C．30对D．20对4．设全集,,,Uabcd，集合A、B是U的子集，若A有3个元素，B有2个元素，且ABa，求集合A、B，则本题的解的个数为（）A．42B．21C．7D．35．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有种不同的选