第四章-直梁的弯曲

第四章直梁的弯曲4.1引言4.2平面弯曲概念梁结构1、梁弯曲常见弯曲变形构件中由房屋支承梁，工厂中起重机横梁及化工中的卧式容器等。结构如图：起重机大梁目录P力学分析简化模型镗刀杆P火车轮轴简化弯曲梁受力特点——在通过梁某一纵向平面内，受到垂直于轴线的外力或力偶作用。受力如图：变形特点——任两个截面绕垂直于梁轴线的轴相对转动，梁轴线由直线变曲线。平面弯曲——所有外力或力偶作用在纵向对称面内，梁轴线在对称面内弯曲成平面曲线。纵向对称面——在纵向可将梁分成对称两半。截面轴线受力后常见有纵向对称面的梁2、梁简化对实际梁受力分析和强度计算，对梁进行简化，以轴线表示梁。梁简化成三种力学模型：（1）简支梁如图：一端固定简支，另一端可动铰支。（2）外伸梁如图：梁一端或两端伸出支座外。（3）悬臂梁如图：梁一端固定约束，另一端自由。各支座处力与位移边界条件：①固定铰支支座处梁左、右，上、下均不可移动，但可绕约束点转动。解除约束受力图RRxy力的边界条件位移边界条件m=0Rx≠0Ry≠0x=0w=0②可动铰支支座点左、右可移动，上、下不可动。解除约束受力图Ry力的边界条件位移边界条件Ry≠0Rx=0m=0x≠0w=0③固定端约束限制固定端既不能转动，也不可移动。解除约束受力图RyRxm力的边界条件位移边界条件Rx≠0Ry≠0m≠0x=0w=0各支座反力可根据平衡条件求出。如果未知力数与所列出的独立方程数相同，则可求出未知力——称为静定问题，属于静定梁；反之为静不定，称为不静定梁。①集中力：作用力作用在很小面积上，可近似一点。如图：②集中力偶：力偶两力分布在很短一段梁上，可简化为作用在梁的某一截面上。如图：③分布载荷：载荷分布在较长范围内，以单位长度受力q表示。q单位N/m如图：作用于梁上载荷有三种形式：Pmq§4.3梁弯曲时的内力4.3.1内力计算内力计算方法如下：第一步——解除支座约束，计算约束反力。第二步——用截面法将梁分成两部分。第三步——由平衡条件计算截面处内力。如图：简支梁，试计算m—n截面内力。解:(1)解除约束，求约束反力列平衡方程nABabmPRRRxAyAyBRxA=0RyA+RyB=PRyB·l–Pa=0baPaRyBbaPbRyA0xAR(2)用截面法求内力剪面处存在的内力：①阻止RyA作用下绕O转动，截面必存在附加内力矩M，阻止转动。②平衡RyA力，截面上必有向下力Fs附加内力矩M——称为截面弯矩。截面内力Fs——称为剪力，与外力平行，有使梁沿m—n截面剪断趋势。分离体处于平衡，由平衡条件得：∑y=0RAy–Fs=0∑M=0M–RAy·x=0baPbFsxbaPbMMMRxoPByAyRFsFs结论：①受弯曲梁任一截面内力有弯矩与剪力。②剪力等于截面之左（或右）所有外力代数和。③弯矩等于截面之左（或右）所有外力（力偶）对截面形心之矩代数和。剪力与弯矩对梁强度影响：由经典力学分析弯矩对梁强度影响远大于剪力对梁强度。工程计算一般只考虑弯矩，忽略剪力。4.3.2弯矩符号规定规定如下：所求弯矩的截面附近能形成上凹下凸的弯曲变形，该截面弯矩为正；反之为负。m—n截面附近弯曲形状，如图，弯矩M为正。反之发生如下图弯曲形状，弯矩为负。MmnMmnMM由此得“左顺右逆”弯矩为正规定：截面左侧——所有对截面形心之矩为顺时针的外力及顺时针的力偶，它们在截面处产生弯矩为正，反之为负。截面右侧——所有对截面形心之矩为逆时针的外力及逆时针的力偶，它们在截面处产生弯矩为正，反之为负。4.4弯矩图由截面法计算出横截面弯矩随轴线x变化规律M=M(x)→称为梁弯矩方程将弯矩大小与正负表示在图上——弯矩图画弯矩图的基本方法：(1)对双支点梁解除约束，求支座反力，悬臂梁不必求支座反力,从悬臂端开始计算弯矩。(2)在有集中力或集中力偶处分段，求出每一段弯矩方程。(3)选适当比例，以横截面位置x为横坐标，弯矩M为纵坐标作弯矩图。例一，如图：受集中载荷简支梁。试画出弯矩图。解：①解除约束，求约束反力ABCDPmaaaPRRRAxAyBym=PaRAy·3a–P·2a+m=0RAy+RBy–P=03PRAy32PRBy0AxR②分段求各段弯矩AC段，在AC段任取一截面xPxRMAyAC30≤x≤aDC段，在DC段任取一截面)(axPxRMAyDCxPPaPaPxxP323a≤x＜2aPMxRAyxRAyBD段，在BD段任取一截面MRxByPxxRMByBD320≤x＜a③画弯矩图(+)(-)(+)3Pa2Pa3aP3CADB例二、有一悬臂梁长l，其上分布载荷q和集中力偶矩m.试画出弯矩图。解：悬臂梁可不必求约束反力直接分段AB与BC段①AB段在AB之间任取一截面弯矩B截面右侧m=ABl/22Cql/2ql2x222qxxqxMAB82qlMB右=2l0≤x＜②BC段在BC之间任取一截面2222qlqxMBC22lxlB截面左侧，2lx283qlMB左xqC点x=l，MC=0AC83ql2Bql28(+)(-)例三、有一梁受力如图，试画出弯矩图。解:(1)解除约束，求约束反力aaaABCDqqaDAqCBRRRByAyBxqaRBx=0RBy+RAy–qa–qa=00252aqaqaRaaAyRAy=1.75qaRBy=0.25qa(2)分段求各段弯矩，分DA,AC,CB三段。qx22qxMAD0≤x≤aDA段，在之间任取一截面AC段，在之间任取一截面)2()(axqaaxRMAyAC225.175.0qaqaxqADxBC段，在之间任取一截面xMRBCBy(3)画弯矩图ABCD(+)(-)0.25qaqa222§4.5弯曲时的正应力和强度计算纯弯曲——只有弯矩而无剪力的梁，此时弯曲为纯弯曲。纯弯曲梁——梁横截面上只有弯矩而无剪力。CD段是典型纯弯曲梁，分析纯弯曲梁横截面正应力方法分四步：一、实验观察与假设推论如图一矩形截面梁，在侧面分别画上与梁轴线相垂直的线m—m，n—n，及与梁轴线平行线bb，aam—m，n—n代表横向截面bb，aa代表纵向截面两端施加外力偶，使梁产生纯弯曲变形如图出现现象如下：1、变形后，m—m，n—n仍为直线，但转一定角度，仍与梁轴相垂直。2、纵向线bb，aa及轴线由直线变为圆弧，bb缩短，aa伸长。3、梁横截面长度不变。bomombaammnn由观察现象作两点假设：1、平面假设——梁横截面弯曲变形后均为平面，仍垂直于轴线。横截面只绕某轴转个角度。2、互不挤压假设——假设梁由很多层纤维组成，变形时各层纤维只受轴向拉伸或压缩，各层纤维互不挤压。由假设作如下推论：由观察得知，横截面只相对偏转了一个角度，纵向纤维受到轴向拉伸或压缩。1、纯弯曲梁变形本质是拉伸或压缩变形，不是剪切变形。2、横截面只有正应力，无剪应力。凹侧受压，有压缩应力，凸侧受拉，存在拉应力。3、中间存在一层既不受拉也不受压的中性层，其上应力为0。二、应变与几何尺寸之间关系从受纯弯曲梁取一段dx长。dx微段的两横截面变形后夹角dθ,中性层曲率半径为ρdx12oo1cd1y变形前odθo1c12do1dx变形后OO1=OO2=ρO1O2=dx=ρdθ中性层变形前后长度不变。变形后c1d1=(ρ+y)dθc1d1的应变⌒dddydxdxdy)()(y三、物理关系——虎克定律由假设可得梁弯曲本质是拉伸与压缩hook定律：yEE上式显示：梁截面上任一点应力与该点到中性轴距离成正比，y=0的中性面上应力σ为0，上、下边缘正应力最大。四、静力学关系寻找正应力σ与弯矩M之间关系如图：纯弯曲梁横截面应力分布中性轴两侧一边受拉一边受压可构成力偶中性层如图在梁横截面上取微面dA，距中性轴距离ydA上内力dFdF=σdAdF对中性轴之矩dMdM=σ·y·dAM=∫AdM=∫AσydA,M=∫Ay2dAydAZyEEIZ=∫Ay2dAIZ——横截面对中性轴的轴惯性矩。EIZ——抗弯刚度ZEIM1①曲率与M成正比，M越大，梁弯曲越厉害。1②曲率与EIZ成反比。此式为纯弯矩梁横截面上任一点正应力公式。y→横截面上任一点距中性轴距离。yEZEIMEy1ZIyM注意：①弯曲正应力σ与M成正比，与距离y成反比，最大应力存在于梁边缘处②当截面对称于中性面，最大拉、压应力相等。③当中性面与上下边缘距离不等时，要分别计算拉应力与压应力。令maxyIWZZZIMymaxmaxWZ——横截面对中性轴Z的抗弯截面模量。五：弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力计算公式是在纯弯曲下导出——梁截面只有弯距没有剪力。工程中实际梁受到横向力作用——梁截面既有弯矩又有剪力。横截面存在剪力互不挤压假设不成立，梁发生翘曲。根据精确理论和实验分析，当梁跨度l与横截面高度h之比l/h＞5时，存在剪应力梁的正应力分布与纯弯曲很接近。公式适用范围：①梁跨度l与横截面高度h之比l/h＞5，可使用梁正应力计算公式。②梁正应力计算公式由矩形截面梁导出，但未使用矩形的几何特性。所以公式适用于右纵向对称面的其它截面梁。如工字钢、槽钢及梯形截面梁等。③梁材料必须服从虎克定律，在弹性范围内，且材料的拉伸与压缩弹性模量相同，公式才适用。工字钢纵向对称面纵向对称面槽钢纵向对称面纵向对称面不存在不可用纵向对称面不存在纵向对称面不可用§4.6截面的轴惯性矩和抗弯截面模量1、矩形截面（中性轴与截面形心重合）轴惯性矩IZ123bh123hb抗弯截面模量WZ62/2bhhIWZZ62hbWyIy=∫y2hdy=IZ=∫y2bdy=h/2-h/2b/2-b/2AIZ=∫y2dAdA=b﹒dyyhzbhbyzydy对中性轴与截面形心不重合如图梯形截面IZ=∫y2dA=∫y2dAy1-y211yIWZZ22yIWZZWZ1与WZ2不相等，正应力计算时采用较小抗弯模量进行计算。yy12中性轴zA2、圆形及圆环形截面①对实心圆截面对圆截面，通过形心任一轴的惯性矩相等。即Iz=Iy=∫y2dA=∫(Rsina)2·dAdA=2Rcosa·dy,y=Rsinady=Rcosa·daAIz=Iy=2∫2R4sin2a·cos2a·da=644d截面抗弯模量Wz=Wy=322/6434dddRyyαz②对圆环截面令d/D=αIy=Iz=Wz=Wy=对于口径较大，壁厚较薄管D-d=2SIz=Iy≈Sd38)1(322/43DDI)(6464644444dDdD)1(6444DDd§4.7弯曲正应力的强度条件保证梁工作时最大应力在许用应力范围内，即满足强度条件：][maxZWM可能存在最大应力的位置：①弯矩最大截面②惯性矩IZ最小截面注：①弯矩有正负。计算时以绝对值代入，计算应力σmax总为正，是拉应力。②许用应力[σ]由实验确定。③截面不对称于中性轴时，存在两个抗弯截面模量WZ1，WZ2，计算取较小截面模量代入。④材料抗拉、抗压强度不同时，分别求出梁的最大拉、压应力，保证：1maxZWM2maxZWMσmax拉=σmax压=≤[σ]拉≤[σ]压例一、有一阶梯圆柱截面梁，许用应力[σ]=200MPa,结构尺寸如图d1=50mm，d2=80mm，d3=60mmP1=10kN，P2=5kNP=10kNP=5kN2502505005001500dd1212d3解：①解除约束，求约束反力BCDFEA(+)(+)2.294.37kN·m12PPABCDEFNN12N1·1500－P1·750－P2·250=0N1=5.83(kN)N2=9.17(kN)②画弯矩图分段求各段弯矩方程MAB=5.83x，0≤x≤750MCD=9.17x，0≤x≤250③可能的危险截面E，F，B截面可能成为危险截面。E截面弯矩ME=5.83×0.5=2.92kN·mB截面弯矩MB=5.83×0.75=4.37kN·mF截面弯矩MF=mkNMMCB33.3229.237.42