1.3导数在研究函数中的应用

2020/3/171.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数2020/3/17(4).对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa(5).指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（(3).三角函数：xxsin)(cos2）（(1).常函数：(C)/0,(c为常数)；(2).幂函数：(xn)/nxn1一、复习回顾：1.基本初等函数的导数公式2020/3/172.导数的运算法则()()()()fxgxfxgx()()()()()()fxgxfxgxfxgx2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx3.复合函数的求导法则''')(),())((xuxuyyxguufyxgfy的导数间的关系为的导数和函数复合函数2020/3/17xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3xy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.2020/3/17函数y=f(x)在给定区间G上,当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:2020/3/171.根据导数的几何意义,当曲线上升时,()0fx;当曲线下降时,()0fx,反之也成立.yx0abc()0fx()0fx函数的单调性与导数的符号有如下关系:在某个区间(,)ab内,如果()0fx,那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减．注:如果()0fx,那么函数是常数函数．2020/3/17例1已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;,0)(xf)(xf当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;,0)(xf)(xf当x=4,或x=1时,这两点比较特殊,我们称它们为“临界点”.0)(xf综上,函数图象的大致形状如右图所示.)(xfxyO142020/3/17例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1))(xf从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增，见右图。xyoxxxf3)(302020/3/17xyo132)(2xxxf(2)f(x)=x2-2x-3;解：=2x-2=2(x-1))(xf图象见右图。当0，即x1时，函数单调递增；)(xf当0，即x1时，函数单调递减；)(xf)1,(),1()(单调递减区间为的单调递增区间为函数xf2020/3/17xyoxxxfsin)((3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-1)(xf从而函数f(x)=sinx-x在x∈(0,p)单调递减，见右图。.0()(），的单调递减区间为pxf02020/3/17(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4))(xf当0,即时,函数f(x)单调递增；)(xf21712171xx或当0,即时,函数f(x)单调递减；21712171x)(xf图象见右图。xyo)2171,21712171,2171,)(单调递减区间为（），，（）的单调递增区间为（xf2020/3/17例3.如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO1),(2)(),(3)(),(4)()BADC解：（）（)1)2)3)42020/3/17一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象“平缓”.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。2020/3/171.求函数的单调区间。变1：求函数的单调区间。3233yxx233yxx'63yx解：11'0,'022yxyx令得令得233yxx1(,)2的单调递增区间为单调递减区间为1(,)2解：2'963(32)yxxxx2'003yxx令得或2'003yx令得3233yxx的单调递增区间为单调递减区间为2(0,)32(,0),(,)3变3：求函数的单调区间。1yx变2：求函数的单调区间。33xyex巩固提高：'01xye令得解:'33xye33(0,)xyex的单调递增区间为(,0)单调递减区间为0'010xeyex令得0x0e解:21'0,yx0,x但1(,0)(0,)yx的单调递减区间为，练习：2020/3/17xyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C练习：2.设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfx2020/3/172.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状)(xfy)(xfOabcxy)yfx练习：P262020/3/17确定函数，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数。762)(23xxxfxyo解：函数f(x)的定义域是(-∞,+∞)xxxf126)(2'令6x2－12x0,解得x2或x0∴当x∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数；当x∈(－∞,0)时，f(x)也是增函数令6x2－12x0,解得,0x2∴当x∈(0,2)时，f(x)是减函数。2020/3/171.3.2函数的极值及导数2020/3/17aoht)'0haht问题：如图表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数的图象2()4.96.510httt单调递增单调递减0)(th0)(th归纳:函数在点处,在的附近,当时,函数h(t)单调递增，;当时,函数h(t)单调递减,。()htata0)(ahatat0)(th0)(th2020/3/17yxaob)yfx（3）在点附近,的导数的符号有什么规律?,ab)yfx（1）函数在点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?)yfx,ab（2）函数在点的导数值是多少?)yfx,ab(图一)问题：0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfxy)yfxohgfedc(图二)2020/3/17yxaob)yfx(图一)0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfxy)yfxohgfedc(图二)极大值f(b)点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)思考：极大值一定大于极小值吗？2020/3/17P291.下图是函数的图象,指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.)(xfyybxx1Ox2x3x4x5x6)(xfyx0a思考：（1）极值点唯一吗?（2）极大值一定比极小值大吗?不一定不一定2020/3/17（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.注意：（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；2020/3/17x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)f(x))31443fxxx奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆例4：求函数的极值.∴当x=–2时,f(x)有极大值：328)2(f当x=2时,f(x)有极小值：34)2(f解:.4)(2xxf当,即,或;当,即.0)(xf0)(xf2x2x22x当x变化时,的变化情况如下表:)(xf)(xf+–+单调递增单调递减单调递增28343步骤1：确定定义域，求导步骤3：列表00令解得或,0)(xf2,2xx下面分两种情况讨论：.2x,2x步骤2：解方程f(x)=02020/3/172、求函数y=f(x)极值的方法是:解方程，当时：)'0fx)'00fx(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值；)0fx0x)'0fx)'0fx(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值。)'0fx0x)0fx)'0fx1、导数值为0的点不一定是函数的极值点。(如是极值点要求点的两侧的导数必须是异号)注意：2020/3/17abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?OA.1B.2C.3D.41、函数的定义域为开区间,导函数在)(xf内的图像如图所示,则函数在开区间内有()个极小值点。)(xf),(ba),(ba),(ba)(xfA练习：2、下列结论中正确的是（）。A、导数为零的点一定是极值点。B、如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值。C、如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值。Ｄ、极大值一定大于极小值。B)3fxx0xy2020/3/17练习：1.求函数的极值)33fxxxx)'fx)fx),1)1,1)1,20011单调递增单调递减单调递减2当时,有极大值，并且极大值为)(xf)(xf∴当时,有极小值，并且极小值为2.2.1x1xx解:∵∴令，得，或下面分两种情况讨论：（1）当，即时；（2）当，即，或时。当变化时，的变化情况如下表：)33fxxx)'0fx)'233fxx)'2330fxx1x1.x)'0fx11x1x1x))',fxfx可以省略2020/3/172020/3/17xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6最值是相对函数定义域整体而言的.极值反映的是函数在某一点附近的局部性质.注意:复习极值最值不唯一极大值和极小值大小不定只能是内点值,不能为端点值唯一最大值一定比最小值大两者都有可能2020/3/17xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6※探究新知.)(),(),(,)()(),(),(,642531是函数的极大值的极小值是函数从图可得xfxfxfxfyxfxfxf2020/3/17xoybay=f(x)oyxy=f(x)abx1x2x41.如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线,那么它必定有最大值和最小值。x32.把函数y=f(x)的所有极值连同端点函数值进行比较,最大的为最大值，最小的为最小值.2020/3/17例5、求函数在[0，3]上的最大值与最小值.4431)(3xxxf解：)2)(2(42xxxy当x变化时，的变化情况如下表：yy,