角平分线的判定定理

ODEPP到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点几何语言描述：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PEACB角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的性质：不必再证全等如图，由于点D，于点E，PD=PE，可以得到什么结论？OBPE^PD^OA到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：如图，，，垂足分别是A、B，PD=PE，求证：点P在的角平分线上。AOBOAPD^OBPE^BADOPE到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。已知：如图，，，垂足分别是D、E，PD=PE，求证：点P在的角平分线上。AOBOAPD^OBPE^证明：\90PEOPDO作射线OP\点P在角的平分线上AOB在Rt△PDO和Rt△PEO中，（HL）\BOPAOP（全等三角形的对应角相等）OP=OP（公共边）PD=PE（已知）\PEORtPDORt≌角平分线的判定BADOPE∵OAPD^OBPE^角平分线的判定的应用书写格式：OP是的平分线AOBOAPD^OBPE^PD=PE\（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）∵DEOPAB角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。BADOPEC\PD=PEOP是的平分线AOB∵OAPD^OBPE^∵\OP是的平分线AOBPD=PEOAPD^OBPE^用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线练一练填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(1).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(_______________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD已知：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。求证：AD平分∠BAC。ABCFED课堂练习拓展与延伸3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.AAAAAAADNEBFMCA3、已知PA=PB，∠1+∠2=1800，求证：OP平分∠AOBAOBP12EFABCPEDFMN例题2.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P也在∠A的平分线上。证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F•证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F•∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）•∴PD=PE•（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）•同理PE=PF.•∴PD=PE=PF.•即点P到边•AB、BC、CA的距离相等随堂练习3已知：如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD和∠C的外角平分线CE相交于点P。求证：点P在∠BAC的平分线上。CABPDE练习：8、如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？3、如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．（第3题）在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．1、如图所示，BF与CE相交于D，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E。求证：点D在∠BAC的角平分线上。┌EABDCF例１、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点Ｐ，求证：点Ｐ到三边ＡB，BC，CA的距离相等。ABCMNPEFD∟证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F。∵ＢＭ是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD=PE同理ＰＥ＝ＰＦ∴PD=PE=PF即点P到三边ＡＢ，ＢＣ，CA的距离相等。证明：三角形三条角平分线相交于一点．4、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．GHP2、如图：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？ACBEFGD课内拓展延伸如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.CBAEDOCBAEDO1：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；2：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．3：角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE用数学语言表示为：