解答-华南农业大学2011高等代数1期末试卷

1装订线2011学年第一学期高等代数Ⅰ(A卷)一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.注：此题不考2.已知方阵33()ijAa的第1行元素分别为111a，212a，113a，且知A的伴随矩阵*732537425A，则A（B）A.0B.-1C.1D.以上答案都不对分析：A的第一行元的代数余子式111213,,AAA就是*A的第一列元-7,5,4所以按照A的第一行元展开得111112121313=1-7+25+-=-AaAaAaA（1）41。注意：行列式按本行（列）展开的值为A，串行（列）展开的值为“0”内容见课本78页定理3.3.下列命题中与命题“n阶方阵A可逆”不等价．．．的是（）A.0AB.()RAnC.方程组0Ax有非零解D.A的行（列）向量组线性无关分析：n阶方阵A可逆0A判断矩阵可逆的常用方法0(A)=nAAR满秩(A)=nARAnn的行（列）向量组的秩为n的的个行（列）向量无关00AAx方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组只有零解注意：此题改为与“n阶方阵A不可逆”的等价条件是？4.设,AB为n级矩阵，则下列结论错误的是（A）A.ABABB.ABBAC.()TTTABBAD.()TTTABAB分析：ABAB，纯属杜撰，无此公式2ABBA，课本175页定理1；C，D见课本174页公式（17）（18）.5.设A为5级方阵，且()4RA，12,是0AX的两个不同的解向量，则0AX的通解为（A）A.1kB.2kC.12()kD.12()k分析：方程组0AX含“5”个未知数，其基础解系解向量个数n-r(A)=1,1212121+--0r，，，中只有，其它不能保证非零，从而无法保证无关二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.以1－i为根的次数最低的实系数多项式是.此题不考2.设,AB均为3阶方阵，且1,12AB，*A为A的伴随矩阵,则12AB－2分析：312*112||||=8A2BBABA注意：n阶方阵A：11*1AA,A,AAnnA3.若矩阵12345(,,,,)A经过初等行变换化为10312011010001100000（阶梯型矩阵），那么向量组12345,,,,的秩为3，它的一个极大线性无关组为124,,.注意：初等行（列）变换不改变矩阵的秩；（矩阵求秩的原理）初等行变换不改变列向量组的相关性；（求极大无关组依据）初等列变换不改变行向量组的相关性；4.当x-1时,向量(,1,0)x可由向量组12(1,1,0),(2,0,1)线性表出.分析：向量(,1,0)x可由向量组12(1,1,0),(2,0,1)线性表出，因此3个向量构成相关组，因此3装订线1011001201xx5.若二次型222123123121323(,,)5224fxxxxxxtxxxxxx是正定的，则t的取值范围为405t.分析：二次型正定，所有顺序主子式去全大于零。三、判别题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1.每一个多项式都有唯一确定的次数.（）分析：课本第4页，零多项式()0fx是唯一不定义次数的多项式。2.此题不考（）3.n级排列中奇排列的个数为2!n。（√）分析：课本52页推论，全部n级排列中，奇，偶排列个数各占一半为2!n4.下列矩阵中:100020003,100010101,100110101,200011001,只有一个是初等矩阵.（√）分析：初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换而成2323100100010020001003rr非初等矩阵，13100101010010001001rr初等矩阵，2313100101010011001003rrrr非初等矩阵，213-3100101010011001003rrr非初等矩阵，5.在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.（√）四、解答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）1.设422(),()2,fxxxaxbgxxx求,ab使得(),()().fxgxgx解要使(),()(),fxgxgx必须()().gxfx(2分)用()gx除()fx，得余式1.5CM1.5CM4()(6)8,rxaxb(5分)可见当6,8ab时，()0,rx则()().gxfx此时(),()().fxgxgx(7分)注意：()gx除()fx得余式的过程用“竖式除法”求。2.计算1n级行列式：1212.12123xnxnDxnx解：行列式特点：每一行的和相等为(12)xn方法1112,,1(1)211212(1)122123iccinnncxnxnnnDxxnx(3分)213111210001100(1)11202111ncccccncxnnxxxn（5分）(1)(1)(2)().2nnxxxxn（7分）方法2112,,1(1)211212(1)122123iccinnncxnxnnnDxxnx（3分）2131111120100(1)01202011nrrrrrrnxnnxxxn（5分）5装订线10012(1)211xxnnxxn(1)(1)(2)().2nnxxxxn（7分）3.已知线性方程组1231231233223226xxxkxxxxxx，讨论方程组何时无解，何时有解，并在有无穷多解时求出通解.解对增广矩阵作行变换化为阶梯形31221321216kA101201120008k（2分）（1）当8k时，()2,()3,()()RARARARA，方程组无解;（2）当8k时，()()23RARA，方程组有无穷多解，（5分）此时，得一般解为13233322xxxxxx(3x为自由未知量)，令3,xk得通解为1231212,10xxkxk为任意常数.（7分）4．设矩阵400041002A,矩阵X满足3,AXAX求.X解由3AXAX得-3=AAXX，从而3AEXA,（合并含“X”的项，3X提出X后补上“E”，“X”在乘积右侧，提出来依然在右侧）（2分）而100301110001AE,所以3AE可逆，且611003011,001AE（4分）所以，11004004003011041043.001002002BAEA（7分）注意：13AE的求法：（1）利用为分块对角矩阵（2）3EAE作初等行变换（3）*133=3AEAEAE（），此法繁琐，不推荐5.作非退化线性替换XCY把实二次型2212312121323(,,)3226fxxxxxxxxxxx化为实数域中的规范形.解：二次型的矩阵为111133130A.（1分）2132231213223111+2211c+cccccc2211110010010013304204001013002-1000000rrrrrrrA213223111c+cccccc2231311-1-22210011-1111E01001001-0-222001001001001可逆矩阵C，于是作非退化线性替换,XCY得所求的规范形为2212312(,,).fxxxyy五、证明题（本大题共5小题，共25分）1．证明：如果((),())1fxgx,那么((),()())1fxfxgx.（（本小题5分）10001-10011.5CM7装订线证明由于((),())1fxgx，所以存在多项式(),()uxvx使得()()()())1uxfxvxgx（（2分）于是[()()]()()[()()]1uxvxfxvxfxgx.（4分）故((),()())1fxfxgx.（（5分）注意：互素的充分必要条件：((),())1fxgx()()()())1uxfxvxgx2.已知12,,,s的秩为r,证明:12,,,s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.（（本小题5分）证明设12,,,riii是12,,,s中任意r个线性无关的向量,（1分）由于12,,,s的秩为r,所以对12,,,s中的任意向量(1,2,,)jjs，12,,,,sj都线性相关(否则原向量组的秩就超过r了),（4分）因此12,,,riii是向量组12,,,s的一个极大线性无关组.（5分）3.设123,,是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,证明12,23,31也是0AX的一个基础解系.（本小题6分）证明显然，12,23，31也是0AX的解.（1分）设有123kkk，，使得112223331()()()0kkk，即131122233()()()0kkkkkk，因123,,线性无关，故有131223000kkkkkk，该方程组只有零解1230kkk，由向量组线性无关的定义知12,23，31线性无关.（4分）而由题设知，0AX的基础解系含3个线性无关的解，（5分）8所以12,23，31也是0AX的一个基础解系.（6分）注意证明向量12sAX=0，，，是基础解系，需证明：（1）12sAX=0，，，是的解（2）12s，，，线性无关（3）s恰为基础解系向量个数n-r4.设A是n级正定矩阵，B是n级半正定矩阵，证明A+B是正定矩阵.（本小题5分）证明：由题设知A，B都是n级实对称矩阵，所以()TTTABABAB即AB也是实对称矩阵.(2分)对任意n维实向量0X，因为0,0TTXAXXBX，所以()0TTTXABXXAXXBX，(4分)因此，()TXABX是正定二次型，从而AB是正定矩阵.(5分)5.已知,AB为3级矩阵且满足124ABBE，证明矩阵2AE可逆.（本小题4分）证明方法1由124ABBE,得24BABA,即420ABAB,(1分)于是(2)(4)8,AEBEE（学会分解）即1(2)(4),8AEBEE(3分)因此，2AE可逆，且11(2)(4).8AEBE(4分)方法2由124ABBE，得24BABA，即420ABAB，(1分)于是(2)(4)8,A