三角函数线及其应用.

新知探究题型探究感悟提升【课标要求】1．了解三角函数线的意义．2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．【核心扫描】1．三角函数线的概念．(难点)2．利用三角函数线求解简单三角不等式．(重点)3．对各种三角函数线的辨认．(易混点)第2课时三角函数线及其应用新知探究题型探究感悟提升新知导学1．三角函数的定义域函数定义域y＝sinαRy＝cosαRy＝tanαα∈Rα≠π2＋kπ，k∈Z温馨提示：当α＝π2＋kπ(k∈Z)时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanα＝yx无意义．新知探究题型探究感悟提升2．三角函数线三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值．图示新知探究题型探究感悟提升正弦线如上图，α终边与单位圆交于P，过P作PM垂直x轴，有向线段即为正弦线余弦线如上图，有向线段即为余弦线正切线如上图，过(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于T，有向线段即为正切线MPOMAT新知探究题型探究感悟提升温馨提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．新知探究题型探究感悟提升互动探究探究点1用三角函数线表示的三角函数的符号是如何确定的？提示有向线段MP、AT与y轴的正向相同时符号为正，反向时符号为负；有向线段OM与x轴的正向相同时符号为正，反向时符号为负．新知探究题型探究感悟提升探究点2如何作三角函数线？提示三角函数线的作法：①作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．②作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.新知探究题型探究感悟提升[思路探索]作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比较三角函数值的大小时需依据三角函数线的长度和正负．类型一利用三角函数线比较大小【例1】分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin2π3和sin4π5，cos2π3和cos4π5，tan2π3和tan4π5的大小．新知探究题型探究感悟提升解如图，sin2π3＝MP，cos2π3＝OM，tan2π3＝AT，sin4π5＝M′P′，cos4π5＝OM′，tan4π5＝AT′.显然|MP||M′P′|，符号皆正，∴sin2π3sin4π5；|OM||OM′|，符号皆负，∴cos2π3cos4π5；|AT||AT′|，符号皆负，∴tan2π3tan4π5.新知探究题型探究感悟提升[规律方法]利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．新知探究题型探究感悟提升【活学活用1】比较sin1155°与sin(－1654°)的大小．解先把两角化成0°～360°间的角的三角函数．sin1155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin75°，sin(－1654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin146°.在单位圆中，分别作出sin75°和sin146°的正弦线M2P2，M1P1(如图)．∵M1P1M2P2，∴sin1155°sin(－1654°)．新知探究题型探究感悟提升[思路探索]作出三角函数在边界的正弦线，然后观察角在什么范围内变化，再根据区域的范围写出θ的取值范围．类型二利用三角函数线解不等式【例2】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．(1)sinθ≥32；(2)－12≤cosθ32.解(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即θ2kπ＋π3≤θ≤2kπ＋2π3，k∈Z.新知探究题型探究感悟提升(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即θ2kπ－23π≤θ2kπ－π6或2kπ＋π6θ≤2kπ＋23π，k∈Z.新知探究题型探究感悟提升[规律方法]用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间．新知探究题型探究感悟提升【活学活用2】解不等式2cosx－10.解不等式2cosx－10，即cosx12，在直角坐标系中作出单位圆，并作直线x＝12与单位圆相交，则图中阴影部分即为角x的终边的范围．故满足条件的角x的取值范围为x2kπ－π3x2kπ＋π3，k∈Z.新知探究题型探究感悟提升方法技巧数形结合法证三角不等式正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，凡与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的为负值．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．新知探究题型探究感悟提升【示例】求证：当α∈0，π2时，sinααtanα.[思路分析]本题主要考查单位圆中的三角函数线、扇形面积公式及数形结合的思想．利用单位圆中角α的正弦线及所对弧长，正切线所在等腰三角形、扇形及直角三角形的面积大小来解决．证明如图，设角α的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则有：新知探究题型探究感悟提升[题后反思]由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问题得以简化，三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具.在Rt△POM中，sinα＝MP；在Rt△AOT中，tanα＝AT.又根据弧度制的定义，有的长度为α·OP＝α.易知S△POAS扇形POAS△AOT，即12OA·MP12α·OA12OA·AT，即sinααtanα.新知探究题型探究感悟提升例．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．解∵点P在第一象限内，∴sinα－cosα0，tanα0，∴sinαcosα，tanα0.结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α2π.可知π4απ2或πα5π4.新知探究题型探究感悟提升1．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是()．A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在解析由三角函数线概念及三角函数定义可知D正确．答案D新知探究题型探究感悟提升2．如果MP、OM分别是角3π16的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是()．A．MPOM0B．MP0OMC．MPOM0D．OMMP0解析如图可知，OMMP0.答案D新知探究题型探究感悟提升3．若sinθ≥0，则θ的取值范围是________．解析sinθ≥0，如图利用三角函数线可得2kπ≤θ≤2kπ＋π，k∈Z.答案[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)新知探究题型探究感悟提升4．函数y＝tanx－π4的定义域是________．解析x－π4≠kπ＋π2，即x≠kπ＋3π4，k∈Z.答案xx≠kπ＋3π4，k∈Z新知探究题型探究感悟提升课堂小结1．三角函数线的意义是表示三角函数的值，其长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．2．三角函数线是解决三角函数问题的重要工具，在研究三角函数的性质，解三角不等式等方面有着广泛的应用，利用三角函数线可以将三角函数问题转化为几何问题解决．体现了数形结合的思想．3．在利用不等式组的交集求含三角函数式的定义域时，除了考虑解析式本身的约束条件，还要顾及三角函数本身的定义域以及三角函数在各象限的符号问题.