搜索
第19课概率的应用基础知识自主学习1.概率表示事件发生的可能性的大小，不能说明某种肯定的结果．2.概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳定性的基础之上的，在大量重复进行同一试验时，可以用某一事件发生的频率近似地作为该事件发生的概率．3.模拟试验：由于有时手边恰好没有相关的实物或者用实物进行试验的难度很大，这时可用替代物进行模拟试验，但必须保证试验在相同的条件下进行，否则会影响其结果．要点梳理[难点正本疑点清源]1．正确理解频率与概率的关系概率被我们用来表示一个事件发生的可能性的大小．如果一个事件是必然事件，它发生的概率就是1；如果一个事件是不可能事件，它发生的概率就是0；随机事件发生的概率通常大于0且小于1.对事件可能性大小的感觉通常来自观察这个事件发生的频率，即该事件实际发生的次数与试验总次数的比值，由于观察的时间有长短，随机事件的发生与否也有随机性，所以在不同的试验中，同一个随机事件发生的频率可以彼此不相等．比如抛掷一枚普通硬币，硬币落地后“正面朝上”的概率是.当试验次数少的时候，“正面朝上”的频率有可能是0，有可能1或者是其他的数，但是，经过大量的重复试验，“正面朝上”的频率会稳定在处．12122．用频率估计概率谁也无法预测随机事件在每次试验中是否会发生，但是，在相同条件下，进行大量的试验后，事件出现的频率会逐渐稳定，稳定后的频率可以作为概率的估计值．反之，如果知道一个事件发生的概率，就可以由此推断：大量试验后该事件发生的频率接近其概率．需要注意的是：用试验的方法得出的频率只是概率估计值，要想得到近似程度比较高的概率估计值，通常需要大量的重复试验．基础自测1．(2011·连云港)已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是()A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的答案D解析抛一枚均匀硬币双方赢的概率都是，游戏对双方是公平的．12122．(2011·福州)从1,2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是()答案B解析随机抽取的两个数相乘，有1×2＝2,1×(－3)＝－3,2×(－3)＝－6这3种情况，积是正数的概率P＝.A.0B.13C.23D．1133．(2011·衢州)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙、烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩．则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是()A.19B.13C.23D.29答案A解析可先求出上午选中孔氏南宗庙的概率是13，下午选中江郎山的概率是13，所以本题的答案P＝13×13＝19.4．(2011·绍兴)在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为()A．2B．4C．12D．16答案B23解析设盒子中有x只黄球，88＋x＝23，则x＝4.5．(2011·兰州)一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是()A．m＝3，n＝5B．m＝n＝4C．m＋n＝4D．m＋n＝8答案D解析据题意，有8m＋8＋n＝m＋nm＋8＋n，则m＋n＝8.题型分类深度剖析【例1】如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，求能让灯泡发光的概率．解∵随机闭合关开S1、S2、S3中的两个，共有3种情况：S1S2、S1S3、S2S3.能让灯泡发光的有S1S3、S2S3两种情况，∴能让灯泡发光的概率为.探究提高本题可列举所有的情况，求出结果．题型一计算等可能事件的概率23知能迁移1(2010·连云港)从甲地到乙地有A1、A2两条路线，从乙地到丙地有B1、B2、B3三条路线，从丙地到丁地有C1、C2两条路线，一个人任意选了一条从甲地到丁地的路线，求他恰好选到B2路线的概率是多少？解∵从甲地到丁地的路线，有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A1B3C1，A1B3C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，A2B3C1，A2B3C2共有12种路线，恰好选到B2的有4种，概率P＝412＝13.题型二用统计频率的方法估计概率【例2】池塘中放养了鲤鱼8000条，鲢鱼若干，在几次随机捕捞中，共抓到鲤鱼320条，鲢鱼400条，估计池塘中原来放养了鲢鱼________条．解析根据捕捞的情况，可得鲢鱼鲤鱼＝400320＝54，则可估计整个池塘鲢鱼与鲤鱼的比也为5∶4，所以池塘可能放养了鲢鱼8000×54＝10000条，应填10000.探究提高本题每捕捞一次就相当于做了一次试验，因此大量重复的试验获取的频率可以估计概率．答案10000知能迁移2从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数100400800100020005000发芽种子粒数8529865279316044005发芽频率0.8500.7450.8150.7930.8020.801根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为___．(精确到0.1)答案0.8题型三概率与统计综合题比赛项目票价(张/元)足球1000男篮800乒乓球x【例3】下表抄录了北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门票价格，某公司购买的门票种类、数量绘制的统计图表如下：依据上列图表，回答下列问题：(1)其中观看足球比赛的门票有________张；观看乒乓球比赛的门票占全部门票的________%；(2)公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张(假设所有的门票形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，则员工小华抽到男篮门票的概率是________；(3)若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的，求每张乒乓球门票的价格．解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)50,20.[2分](2)310(或填0.3)．[4分](3)根据题意，有20x1000×50＋800×30＋20x＝18，解得x≈529.[6分]经检验，x＝529是原方程的解．答：每张乒乓球门票的价格约为529元．[8分]知能迁移3(2010·河源)某校九年级有200名学生参加了全国初中数学联合竞赛的初赛，为了了解本次初赛的成绩情况，从中抽取了50名学生，将他们的初赛成绩(得分为整数，满分为100分)分成五组：第一组49.5～59.5；第二组59.5～69.5；第三组69.5～79.5；第四组79.5～89.5；第五组89.5～100.5.统计后得到如图所示的频数分布直方图(部分)．观察图形的信息，回答下列问题：(1)第四组的频数为________(直接写答案)；(2)若将得分转化为等级，规定：得分低于59.5分评为“D”，59.5～69.5分评为“C”，69.5～89.5分评为“B”，89.5～100.5分评为“A”．那么这200名参加初赛的学生中，参赛成绩评为“D”的学生约有________名(直接填写答案)；(3)若将抽取出来的50名学生中成绩落在第四、第五组的学生组成一个培训小组，再从这个培训小组中随机挑选2名学生参加决赛．用列表法或画树状图法求：挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分及以上的概率．解(1)2.(2)64.(3)依题意得第四组的频数是2，第五组的频数也是2，设第四组的2名学生分别为A1、A2，第五组的2名学生为B1、B2，列表(或画树状图)如下:A1A2B1B2A1——A1、A2A1、B1A1、B2A2A2、A1——A2、B1A2、B2B1B1、A1B1、A2——B1、B2B2B2、A1B2、A2B2、B1——由上表可知共有12种结果，其中两个都是90分及以上的有2种结果，所以恰好都是在90分及以上的概率P＝16.题型四概率与方程、函数的综合【例4】(2009·济南)有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，把上面标有的数字记作一次函数表达式中的b.(1)写出k为负数的概率；(2)求一次函数y＝kx＋b的图象经过二、三、四象限的概率．(用树状图或列表法求解)解(1)因为k为负数的情况有两种，所以k为负数的概率P＝23.(2)k、b的取值情况共有6种，要使图象经过二、三、四象限，则k0，b0，而其中k0且b0的情况有2种，所以经过第二、三、四象限的概率是26＝13.探究提高直线y＝kx＋b经过二、三、四象限的条件是k＜0且b＜0，熟练掌握一次函数基础知识及概率相关知识是解答本题的基础．知能迁移4已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．(1)求从中随机抽取出一个球是黑球的概率是多少？(2)若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机抽出一个白球的概率是14，求y与x之间的函数关系式．解(1)P(黑球)＝47.(2)3＋x7＋x＋y＝14，7＋x＋y＝4(x＋3)，7＋x＋y＝4x＋12，∴y＝3x＋5.易错警示12．不能准确用列表法或树状图法求等可能事件的概率试题如图，电路图中有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合A、B、C都可使小灯泡发光．(1)任意闭合一个开关，则小灯泡发光的概率等于________；(2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡的发光的概率．剖析本题是结合物理电路图的概率问题，关键是理解电路图，理解概率的意义．学生答案展示(1)12(2)14正解(1)14(2)12正确画出树状图如下：批阅笔记正确地列表或画出树状图，利用公式求概率，关键是找出在这一试验中所有可能的结果总数，以及事件本身所包含的结果数．思想方法感悟提高方法与技巧1.确定可能事件发生的概率大小，可分为以下两种情形．情形一：不用做实验，直接从理论上推算出该可能事件发生的概率．情形二：无法凭公式计算或理论上推导而得概率值，只能通过大量重复进行同一实验后，用稳定的频率值来估计该可能发生的概率．2.游戏是否公平取决于双方赢的概率是否相等．失误与防范1．解决分类问题的关键是找出分类的动机，即为什么要分类；找出分类的对策，即怎样分类；分类要逐级展开，不重不漏，最后总结．例如：一个袋内装有红色、白色球各一个，从中可放回地摸两次，两次都摸到白色球的概率是多大？错解：所有可能出现的结果共有3种，表格如下：可能出现的情况(红、红)(红、白)(白、白)相应概率131313上面的错解疏漏了(白、红)这种情况，原因是将(红、白)与(白、红)这两种情况视为一种．正确的解答如下：所有可能出现的结果共有4种，表格如下：第二次第一次红球白球红球(红、红)(红、白)白球(白、红)(白、白)故知两次都摸到白球的概率P＝14.2．概率的应用中，评判某事件是否合算、评判游戏是否公平时，常常不能抓住问题的本质，分析不全面，选择方法不恰当，概率计算错误而导致判断错误．例如：有两个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4四个数，另一个信封内的四张卡片上分别写有5,6,7,8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取1张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．(1)请你通过列表(或画树状图)计算甲获胜的概率；(2)你认为这个游戏公平吗？为什么？错解：画树状图可知，该游戏所有可能的结果共16种，其中两卡片上的数字之积大于20的有6种，所以甲获胜的概率为P＝38.分析：所有可能的结果共16种，但两卡片上数字之积大于20的只有5种，画树状图中计算错误(或把20也计入其中了)．最好是选用列表法得出所有可能