定积分的概念

第一节定积分的概念一、问题的提出二、定积分的概念三、定积分的几何意义四、定积分的性质五、练习、小结除雪机除雪问题冬天的大雪，使公路上积起厚雪而影响交通．有条10kg长的公路由一台除雪机负责除雪．每当路面积雪平均厚度达到0.5m时，除雪机就开始工作．但问题是开始除雪后,大雪仍下个不停，使路面积雪越来越深，除雪机工作速度逐渐降低，直到无法继续工作．若除雪机工作速度v(m/s)与积雪厚度d(m)成正比，其在无雪路面上行走速度为10m/s，且当积雪达1.5m时，无法工作.试给出除雪机工作速度与积雪厚度间的关系；若下雪速度恒定为0.1cm/s，问一台除雪机可否完成任务．(1)怎样才算完成任务?(2)怎样计算走过的距离?除雪机所走过的路程为一、除雪机除雪问题niiiλtξvs10)(lim问题结论abxyo?A曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.)(xfy实例1（求曲边梯形的面积）如图一、问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放abxyoix1x1ix1nx,1210bxxxxxxanii(1)分割).,2,1(1nixxxiii在区间],[ba任意插n个分点，把],[ba分成n个小区间：).,2,1(,1nixxii每个小区间的长度如图：曲边梯形abxyoiix1x1ix1nx（3）求和：面积的近似值为11()nniiiiiSsfx（2）近似代替：（以直代曲）1[,]()iiiiixxSfxi在每个小区间上任取一点（4）取极限，精确化：01lim()niixiSfxV虽然是变速，但在很短一段间隔内，V的变化不大，可近似看作是匀速运动问题。按照求曲边梯形面积的思想。V(T)AB设物体作直线运动,,0)(tv且计算在这段时间内物体所经过的路程。连续函数,)(tvv],[21TT是时间间隔已知速度上的（求变速直线运动的路程）实例2路程=速度×时间.匀速直线运动：t1T2T0t1t2t1itit1ntnti(1)分割,21101TtttttTnii(2)近似代替iiitvs)(iniiniitvss11(3)求和},{max1init(4)取极限.)(lim10niiitvs1iiittt),,2,1(ni（求变速直线运动的路程）实例2从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变速运动的路程，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似代替、求和、取极限”，或者说都归结为形如的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义。niixif1)(设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，定义二、定积分的定义怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和1.dxxf)(与badxxf)(的差别dxxf)(是)(xf的全体原函数是函数badxxf)(是一个和式的极限是一个确定的常数2.当xfini)(1的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及i点的取法无关。f(x)[a,b]注意3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有bababaduufdttfdxxf)()()(4．规定：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf注意A.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关)(xfy在ba,上连续，则定积分badxxf)(的值4.及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为12xy与直线3,1xx1.由曲线dxx)1(2312-2[-2,2]0A222)1(dxx3.定积分练习223sintdt中，积分上限是积分下限是________2.积分区间是,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值三、定积分的几何意义y)(xfyaxbxxoAy)(xfyaxbxAxoabyx1A2A3A4A5A()dbafxx各部分面积的代数和12345AAAAA性质1：bababadxxgdxxfxgxf)()()]()([（差）分等于它们定积分的和函数的和（差）的定积性质2：被积函数的常数因子可以提到积分号外为常数），kdxxfkkf(x)dxbaba()(四、定积分的基本性质性质3：对调定积分上下限，改变符号badxxf)(abdxxf)(0f(x)dxaa当a=b时性质4：（积分的可加性）bacabcdxxfdxxfdxxfc)()()(，则一定有对任意的分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限小结定积分的实质：特殊和式的极限．定积分的思想和方法：定积分的几何意义：一、填空题：1、函数)(xf在ba,上的定积分是积分和的极限，即badxxf)(_________________.2、定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关.3、定积分的几何意义是_______________________.4、区间ba,长度的定积分表示是_____________..练习题niiixf10)(lim被积函数围成的各个部分面积的代数和积分变量积分区间badx练习题1-15A2π0cosdxx20(1)cosdxx如何表述定积分的几何意义？根据几何意义推出定积分的值：11(2)dxx4A3A2ππ3453535()()0AAAAAAA111d221112xxA将和式极限：nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分.思考题原式nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1limninnin1sin1limnninin1sinlim1.sin10xdxixi思考题解答作业P126