积分在计算物体体积和质量等问题中的应用

本科学年论文论文题目：积分在计算物体体积和质量等问题中的应用学生姓名：学号：专业：班级：指导教师：完成日期：2011年12月20日目录内容摘要.....................................................................................................1关键词.........................................................................................................1序言.............................................................................................................2一、定积分的微小元素法........................................................................31、内容要点........................................................................................32、曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义................................43、计算面积的元素法步骤：............................................................4二、空间立体的体积................................................................................41、平行截面面积为已知的立体体积................................................42、旋转体的体积................................................................................7三、重积分在几何中的应用..................................................................10四、重积分在物理学中的应用..............................................................111、三重积分的概念..........................................................................112．三重积分的定义..........................................................................123、三重积分的物理意义：..............................................................134、三重积分的性质..........................................................................13五、质量...................................................................................................13参考文献...................................................................................................16数学科学学院本科学年论文积分在计算物体体积和质量等问题中的应用1积分在计算物体体积和质量等问题中的应用内容摘要掌握定积分计算基本技巧；并用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（旋转体的体积平行截面面积为已知的立体体积等）。对于重积分的计算其基本思想是将重积分化为累次积分进行计算.本文首先给出如何应用定积分的微元法（元素法）再到运用定积分解决实际问题，最后引出二重积分，三重积分。再通过例子研究积分性质在计算实际问题中的应用.关键词：积分体积质量定积分数学科学学院本科学年论文积分在计算物体体积和质量等问题中的应用2序言用找出未知量的元素（微元）的方法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法是解决积分问题的重要思想。而重积分是一元函数定积分的推广，是多元函数积分学的重要组成部分，在几何学与物理学中都得到了广泛的应用.在几何上，重积分可用来求空间曲面的面积、求空间区域的体积.在物理上，重积分可用来求物体的质量等.但与定积分相比较，重积分的计算除了与被积函数的结构有关外，更大程度上与积分区域的特点有关.下面就针对积分对于计算物体体积和质量的问题进行分析.数学科学学院本科学年论文积分在计算物体体积和质量等问题中的应用3一、定积分的微小元素法1、内容要点定积分概念的引入，体现了一种思想，它就是：在微观意义下，没有什么“曲、直”之分，曲顶的图形可以看成是平顶的，“不均匀”的可以看成是“均匀”的。简单地说，就是以“直”代“曲”，以“不变”代“变”；用这一思想来指导我们的实际应用，许多计算公式可以比较便利地得出来。比如，求右图所示图形的面积时，在[a,b]上任取一点x，此处任给一个“宽度”x，那么这个微小的“矩形”的面积为dxxfxxfdS)()(此时我们把dxxfdS)(称为“面积微元”。把这些微小的面积全部累加起来，就是整个图形的面积了。这种累加通过什么来实现呢？当然就是通过积分，它就是badxxfS)(。这些“面积微元”，几乎就是细线段，当这些数都数不清的“细线段”一根一根地累加起来，就形成了整个图形的面积。打一个不很严格的比方，这些“细线段”的厚度，就好比我们课本纸张的厚度，当很多很多的纸张叠在一起的时候，这个面积就出来了。不是吗？页数很多的书不是比较厚吗？人们就是在这样一个思想下解决问题的。我们把这样的思想方法称为“微元法”。再比如，求变速直线运动的质点的运行路程的时候，我们在T0到T1的时间内，任取一个时间值t，再任给一个时间增量t，那么在这个非常短暂的时间内（t内）质点作匀速运动，质点的速度为v(t)，其运行的路程当然就是dttvttvdS)()(dttvdS)(就是“路程微元”，把它们全部累加起来之后就是：10)(TTdttvS用这样的思想方法，将来我们还可以得出“弧长微元”、“体积微元”、“质量微元”和“功微元”等等。这是一种解决实际问题非常有效、可行的好方法。abx)(xfyx数学科学学院本科学年论文积分在计算物体体积和质量等问题中的应用42、曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义面积Abaniiidxxfxf)()(lim10面积元素dA=dxxf)(3、计算面积的元素法步骤：（1）画出图形；（2）将这个图形分割成n个部分，这n个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。二、空间立体的体积1、平行截面面积为已知的立体体积定理一：设V是位于[a,b]间的一空间立体，A(x)（bxa）是截面积的函数，且在[a,b]上连续，则立体V的体积为badxxAV)(证明：在[x,x+dx]上的体积微元是dV=A(x)dx,则体积为：badxxAV)(解析：设某空间立体垂直于一定轴的各个截面面积已知,则这个立体的体积可用微元法求解.不失一般性,不妨取定轴为x轴,垂直于x轴的各个截面面积为关于x的连续函数()Sx,x的变化区间为[,]ab.该立体体积V对区间[,]ab具有可加性.取x为积分变量,在[,]ab内任取一小区间[,]xxdx,其所对应的小薄片的体积用底面积为()Sx,高为dx的柱体的体积近似代替,即体积微元为()dVSxdxYy=f(x)x0=ax1x2x3xn=bX数学科学学院本科学年论文积分在计算物体体积和质量等问题中的应用5于是所求立体的体积()baVSx【例2】求由双曲抛物面22yxz、平面1x与0z所围立体的体积。分析该立体如图10-14（a）所示。由于它不是一个旋转体，因此只能通过先求出截面面积函数，而后再求定积分的方法来计算立体体积。从我们对双曲抛物面的认识可以知道，垂直于z轴的截面形状是一族双曲线弓形（示于图10-14（b）），垂直于x轴的截面形状是一族抛物弓形（示于图10-14（c））。若能求得截面面积函九A（z）或A（x），便有1010.)()(dxxAdzzAV解下面人出两种解法，以便于进行比较。[解法一]在计算A（z）时，应把z看作在[0,1]上的任一固定实数。此时，水平截线是一族双曲线zyx22（每个z的值对应一条双曲线），或写作].1,[,2zxzxy于是所求双曲线弓形的面积为dxzxzAz122)(122)(1xzxzxxnzzxx),111(11znzznzz由此便有101010.121)11(11nzdzzdzznzdzzV现分别计算右边三个积分如下：;32|)1(321012310zdzz101021021141|)11(121)11(1dzzzzznzdzznz1022)1(1)1(21ztdttt;245)1(211032dtttt102210|2141121znzznzdzz1220|2141limuuznzz数学科学学院本科学年论文积分在计算物体体积和质量等问题中的应用6221141lim220unzuu81所以.318124532V[解法二]类似地，在计算A（x）时应把x看作在[0,1]上取定的任一实数。此时，垂直于x轴的截线是一族抛物线22yxz（每个x的值对应一条抛物线）。因此所求抛物线弓形的面积为.43)(2)(3022xdyyxxAx由此便有.3134103dxxV说明比较解法一与解法二，显然后者要简单得多。由此可见，在利用截面面积求体积的问题中，选择合适的截面是十分重要的。【例2】一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这个平面截圆柱体所得契形体的体积.解取该平面与底面圆的交线为x轴建立直角坐标系,则底面圆的方程为222xyR,半圆的方程即为22yRx.在x轴的变化区间[,]RR内任取一点x,过x作垂直于x轴的截面,截得一直角三角形,其底长为y,高度为tany,故其面积2221()tan21tan21()tan2SxyyyRx于是体积数学科学学院本科学年论文积分在计算物体体积和质量等问题中的应用72222233()1tan()21tan()211tan()232tan3RRRRRRVSxdxRxdxRxdxRRxxRR2、旋转体的体积旋转体是一种特殊的空间立体，它是一条平面图形饶平面一直线l旋转一周所得，特别地，直线为x轴，一般地，设旋转体由曲线y=f(x),x=a,x=b,以及x轴所围的曲边梯形饶x轴旋转一周所得的一个立体，用垂直于x轴的平面去截立体得到截面面积为A(x)=)(2xf,则旋转体的体积为：dxxfVba)(2例1例2、过点)0,1(P作抛物线2xy的切线，求该切线与抛物线2xy及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为)2x,x(00切线方程)1x