河南省郑州市XXXX届高中毕业年级第二次质量预测数学(理)附答案

2011年高中毕业年级第二次质量预测理科数学参考答案一、选择题BACCDDAACDBB二、填空题13.1；14.(52)；15.10；16.(,1)(0,1).三、解答题17.解：⑴由题意2nnSa，①当2n时，112nnSa，②①-②得11nnnnnaSSaa，即112nnaa，又11112,1aSaa，故数列{}na是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112nna；由112(2)nnnbbbn知，数列{}nb是等差数列，设其公差为d，则5371()92bbb，所以5124bbd，1(1)21nbbndn；综上，数列{}na和{}nb的通项公式为11,212nnnabn．⑵1(21)2nnnnbcna，1230121=123252(21)2,nnnTccccn③12121232(23)2(21)2nnnTnn，④③-④得123112(2222)(21)2nnnTn，整理得2212(21)2(23)2312nnnnTnn，所以(23)23nnTn．18.解：⑴由题意，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为3060%50，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550%50，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%．⑵优秀人数非优秀人数合计甲班302050乙班252550合计5545100----------7分注意到22100(30252025)1001.0105050554599K，所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.19.解：⑴在1RtAAD中，11190,2,1,3.AADAAADAD注意到点C到面111ABC的距离即为四棱柱1111ABCDABCD的高1AD的长，所以11111113326VABBCAD．⑵以点D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系Oxyz，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3)DABA，111(0,1,3),(1,0,3),(1,1,3)BDC，11(2,1,3),(1,0,0),(0,1,3)BDDADB，设平面1ADB的法向量(,,)mxyz，由100mDAmDB得平面1ADB的一个法向量为(0,3,1)m，记直线1BD与平面1ADB所成的角为，则116sin||4||||BDmBDm，所以直线1BD与平面1ADB所成角的正弦值为64．⑶113,(,0,)11APPAP，又11113(1,0,0),(,1,)11BCBP，设平面11BCP的法向量(,,)nabc，由11100nBCnBP得平面11BCP的一个法向量为3(0,,1)1n，则2311cos30||||321(1)mnmn，注意到0，解得2为所求．20.解：⑴由题意1222yyxx，整理得2212xy，所以所求轨迹E的方程为221(0)2xyy，⑵当直线l与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；当直线l与x轴垂直时，:1lx，此时22(1,),(1,)22MN，以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为2(1,0)2，不合题意；当直线l与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线:(1)(0)lykxk，1122(,),(,),MxyNxyMN的中点1212(,(1))22xxxxQk，由22(1),1,2ykxxy消y得2222(21)4220kxkxk，由21222242(21),4,2(21)kxkkxk得212221224,2122,21kxxkkxxk所以2222(,)2121kkQkk，则线段MN的中垂线m的方程为：22212()2121kkyxkkk，整理得直线2:21xkmykk，则直线m与y轴的交点2(0,)21kRk，注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，当且仅当RMRN,即112222(,)(,)02121kkRMRNxyxykk，2121212222()021(21)kkxxyyyykk，①由22121212212122[()1],212(2),21kyykxxxxkkyykxxk②将②代入①解得1k，即直线l的方程为(1)yx，综上，所求直线l的方程为10xy或10xy．21.解：⑴证明：记2()()()2lnuxfxhxxex，则2()2euxxx，令()0ux，注意到12x，可得xe，所以函数()ux在1(,)2e上单调递减，在(,)e上单调递增．min()()()()0uxuefeheee，即()0ux，所以()()fxhx．⑵由⑴知，()()fxhx对12x恒成立，当且仅当xe时等号成立，记2()()()2ln4vxhxgxexxpxq，则“()0vx恒成立”与“函数(),()fxgx的图象有且仅有一个公共点”同时成立，即()0vx对12x恒成立，当且仅当xe时等号成立，所以函数()vx在xe时取极小值，注意到2282()8expxevxxpxx，由()0ve，解得10pe，此时8()()2()exexvxx，由12x知，函数()vx在1(,)2e上单调递减，在(,)e上单调递增，即min()()()()5vxvehegeeq=0，5qe，综上，两个条件能同时成立，此时10,5peqe．22.证明：⑴连接CH，,ACAHAKAE，四边形CHEK为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故,,,CHEK四点共圆，同理,,,CEHM四点共圆，即,,,EHMK均在点,,CEH所确定的圆上，证毕．⑵连结EM，由⑴得,,,,EHMCK五点共圆，CEHM为等腰梯形，EMHC，故MKECEH，由KEEH可得KMEECH，故MKECEH，即3KMEC为所求．23.解：2222222()()()2()()()()acbdacbdabcdacbdadbc2222()()2abcd，||2acbd，即22acbd，当且仅当adbc，即2cdab时取最大值2，综上acbd的最大值为2．