2015第1部分专题1第5讲导数与不等式的证明及函数零点、方程根的问题

热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华第5讲导数与不等式的证明及函数零点、方程根的问题热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华高考定位以解答题的形式考查利用导数证明不等式或利用导数解决有关函数零点、方程根的个数问题，难度较大．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华热点一利用导数证明不等式【例1】(2014·吉林实验中学模拟)已知函数f(x)＝ax－ex(a＞0)(e为自然对数的底数)．(1)若a＝12，求函数f(x)在x＝1处的切线方程；(2)当1≤a≤e＋1时，求证：f(x)≤x.热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(1)解当a＝12时，f(x)＝12x－ex，f(1)＝12－e.f′(x)＝12－ex，f′(1)＝12－e，故函数f(x)在x＝1处的切线方程为y－12＋e＝12－e(x－1)，即12－ex－y＝0.热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(2)证明令g(a)＝x－f(x)＝－ax＋x＋ex，只需证明g(a)≥0在1≤a≤e＋1时恒成立．g(1)＝－x＋x＋ex＝ex＞0，①g(1＋e)＝－x(1＋e)＋x＋ex＝ex－ex.设h(x)＝ex－ex，则h′(x)＝ex－e.当x＜1时，h′(x)＜0；当x＞1时，h′(x)＞0.∴h(x)在(－∞，1)单调递减；在(1，＋∞)单调递增．∴h(x)≥h(1)＝e－e＝0，即g(1＋e)≥0.②由①②知，g(a)≥0在1≤a≤e＋1时恒成立．故当1≤a≤e＋1时，f(x)≤x.热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华规律方法利用导数证明不等式关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华【训练1】(2014·武汉调研考试)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减2(1－ln2＋a)单调递增热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝2(1－ln2＋a)．(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知，当a＞ln2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)＞0.于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0，∴g(x)在R上单调递增．于是当a＞ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.热点二利用导数解决与函数零点(或方程的根)有关的问题[微题型1]讨论方程根的个数【例2－1】(2014·金丽衢十二校联合考试)已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)·ex的定义域为[－2，t](t＞－2)．(1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[－2，t]上为单调函数；(2)当1＜t＜4时，求满足f′x0ex0＝23(t－1)2的x0的个数．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解(1)∵f′(x)＝(x2－3x＋3)·ex＋(2x－3)·ex＝x·(x－1)ex，由f′(x)＞0，得x＞1或x＜0；由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上递增，在(0,1)上递减，若使f(x)在[－2，t]上为单调函数，则需－2＜t≤0，即t的取值范围为(－2,0]．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(2)∵f′x0ex0＝x20－x0，∴f′x0ex0＝23(t－1)2，即x20－x0＝23(t－1)2，令g(x)＝x2－x－23(t－1)2，则问题转化为当1＜t＜4时，求方程g(x)＝x2－x－23(t－1)2＝0在[－2，t]上的解的个数．∵g(－2)＝6－23(t－1)2＝－23(t＋2)(t－4)，g(t)＝t(t－1)－23(t－1)2＝13(t＋2)(t－1)，∴当1＜t＜4时，g(－2)＞0且g(t)＞0，热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华∵g(0)＝－23(t－1)2＜0，∴g(x)＝0在[－2，t]上有两解．即满足f′x0ex0＝23(t－1)2的x0的个数为2.探究提高研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华[微题型2]根据零点个数求参数的取值范围【例2－2】(2014·淄博一模)已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2(e为自然对数的底数，a∈R)．(1)判断曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；(2)当x∈1e，e时，若函数y＝f(x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解(1)f′(x)＝lnx＋1，所以切线斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴曲线在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1.由y＝－x2＋ax－2，y＝x－1⇒x2＋(1－a)x＋1＝0.由Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3＝(a＋1)(a－3)可知：当Δ＞0时，即a＜－1或a＞3时，有两个公共点；当Δ＝0时，即a＝－1或a＝3时，有一个公共点；当Δ＜0时，即－1＜a＜3时，没有公共点．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(2)y＝f(x)－g(x)＝x2－ax＋2＋xlnx，由y＝0，得a＝x＋2x＋lnx.令h(x)＝x＋2x＋lnx，则h′(x)＝x－1x＋2x2.当x∈1e，e时，由h′(x)＝0，得x＝1.所以，h(x)在1e，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，因此，hmin(x)＝h(1)＝3.热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华由h1e＝1e＋2e－1，h(e)＝e＋2e＋1比较可知h1e＞h(e)，所以，结合函数图象可得，当3＜a≤e＋2e＋1时，函数y＝f(x)－g(x)有两个零点．规律方法对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华【训练2】(2014·青岛一模)已知函数f(x)＝x2－2lnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．解(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，由f′(x)＝2x－2x＝0，得x＝1.x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝1处取得极小值1.热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2lnx－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－2x，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在(0,2)递减，在(2，＋∞)递增．∴要使函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点只需k1≥0，k2＜0，k3≥0，即1－a≥0，2－2ln2－a＜0，3－2ln3－a≥0，所以2－2ln2＜a≤3－2ln3，即实数a的取值范围是(2－2ln2,3－2ln3]．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华1．证明不等式时，根据不等式的结构特征准确构造相应的函数，将其转化为对应函数的最值或函数值的大小问题处理．2．我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数图象的交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题．3．导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题.