1探索勾股定理教学案例.doc

1《1.1探索勾股定理》教学案例北师大版八年级数学上册第一章第一节的内容:《探索勾股定理》一、教材分析《勾股定理》是学生在已经掌握了直角三角形的有关角的性质的基础上进行学习的，它揭示了直角三角形三边之间的一种数量关系，将形与数密切联系起来，在几何学中占有非常重要的位置。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过观察、分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过推理验证，理解勾股定理，以利于正确的运用。在实际生活中用途很大，它在理论上占有重要地位，因此学好本节至关重要。二、学情分析勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，学生已经对图形的探索、验证有了一定的推理能力，具有良好的协作学习习惯及自主学习能力。因此学生对勾股定理的学习会有较浓厚的兴趣。三、教学目标根据新课程标准对学生知识、能力的要求，结合八年级学生实际水平、认知特点制定以下教学目标。知识与技能①、理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够灵活运用勾股定理及其计算；②、通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。过程与方法2在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的过程，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法，培养学生的观察能力、抽象概括能力以及探究问题的能力。情感态度与价值观：通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。四、教学重难点：重点：勾股定理及其应用。难点：勾股定理的验证。五、教法和学法指导教法分析：针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课采取自主探究发现式教学，这种教学理念有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力,从而激发学生探求新知的兴趣,使学生体验获得新知的过程。学法指导：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。六、教学过程设计:（一）、问题导入1、三角形的三边有什么样的数量关系？32、直角三角形的三边之间除了具备这一特点之外，还有其他特殊的数量关系吗？早在两千多年前的中国和古希腊就有先贤去思考、探索类似的问题。本节课就让我们追寻他们的足迹，探寻直角三角形三边之间的特殊数量关系。【设计意图】通过复习三角形的三边关系，提出直角三角形的三边关系的问题，体现出知识之间的同化关系，为课题的提出做知识上的铺垫，通过数学史的知识，引出自主探究的问题，水到渠成。（二）、自主探究1、相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上发现了直角三角形的某种特性，从而找到了答案。同学们,我们也来观察下面的地面,看看你能发现什么？是否也和大数学家有同样的发现呢?数学家毕达哥拉斯的发现：问题：（1）A、B、C的面积有什么关系？（2）SA，SB，SC相应的用a,c如何来表示？你得到的规律该如何来表示？（3）通过网格图探究，并填表，回答下面问题：①通过上表，你发现面积A，B，C之间有什么数量关系？②等腰直角三角形三边有什么关系？42、在我国古代数学名著《周髀算经》中记载了商高对周公的话，其意为直角三角形的短直角边为3，长直角边4，则它的斜边为5.数学家华罗庚曾提出将下面两个图作为人类的科学文明的信息，通过宇宙探测器向外太空发送。阅读本节引言，观察图16-1，独立思考“一起探究”中的问题1在图16-1（2）中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.（1）如果每个小方格子都是边长为1的正方形，那么Rt△ABC的三边AC，BC，AB的长各是多少？以AB，BC，AB为边的三个正方形的面积各是多少？这些面积之间有什么样的等量关系？（2）如果这个直角三角形的三边长分别为a,b,c,那么可以怎样用a,b,c把图中三个正方形面积表示出来呢？【设计意图】通过上面两个特殊直角三角形三边关系的探究，让学生初步认识直角三角形的三边之间的数量关系，为获得一般规律提供了感性认识和探究问题的方法和思路，为学生从特殊到一般的认识事物打下基础。3、猜想验证通过上面两个问题的探究，你能猜想到直角三角形三边之间的数量关系吗？请用语言叙述你的结论。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.图（1）图（2）图16—15若我们用a,b表示两直角边，c表示斜边，那么如何用式子来表示这种关系？a2+b2=c2那么，是否任何一个直角三角形的三边之间都具备这一关系呢？【设计意图】在总结探究过程，得出猜想，并在类比前面的方法思路的基础上，提出这一结论是否能推广到一般直角三角形，进而过渡到下面的拼图验证环节。（1）动动手：请同学们分组操作，用四个全等的直角三角形围成一个大的正方形。让学生充分经历拼图的过程，师要巡视各组，适时给予指导点拨。小组代表展示拼图的过程。abcABC6（2）动动脑：如图（1），如果当直角三角形的直角边长分别为a、b（b≥a),斜边长为c时，大的正方形面积应如何来表示？你有哪些方法？中间空白小正方形的边长如何来表示？面积又该怎样表示？由此你能验证上面的发现吗？学生先独立完成验证过程，在组内交流解题思路，并加以展示。类比上面的验证过程，你能利用图二来2cS222)(cabab222cba也可以表示为：所以有：因此：ababS214)(2abcccccaaaabbbb222cba这个大正方形的面积可以表示为：7验证吗？试一试。独立完成验证过程。【设计意图】通过动手拼图，发展学生观察能力，提高学生的动手操作能力，渗透数形结合的思想和类比思想，在验证的过程中，培养学生的逻辑推理能力和发散思维，从而充分感受数学学习的从一般到特殊再到一般的认识过程。（三）、归纳总结勾股定理语言叙述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.若用a,b表示两直角边，c表示斜边，那么这种关系用式子可表示为a2+b2=c2这一关系式，还可以有哪些变形？利用这些式子，我们可以用来计算直角三角形的边长。【设计意图】在探究验证的基础上得到勾股定理，让学生明确勾股定理的两个变式，为下面联系打好基础。（四）练习运用：弦勾股bcABCP625400BAC81、如下图，∠ACB=90°，分别以AB，BC为边的正方形面积为625和400，请填空：P的面积=______________AB=__________BC=__________AC=__________2.求下列直角三角形中未知边的长:3、做一做：在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.(1)已知：a=40，c=41，求b；(2)已知：c=13，b=5，求a；(3)已知:a:b=3:4,c=15,求a、b.【设计意图】这三组练习题的设计，由浅入深，由形到数，梯度递进，难易适中，考察的形式多样，让学生通过练习，掌握勾股定理，并渗透了方程和比例的思想。（五）拓展延伸：在一棵树的10米高的M处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？12x8x171666x59【设计意图】通过此问题的解决，让学生体会勾股定理的应用价值。本题利用勾股定理和方程模型思想加以解决，进而增强学生的分析问题能力和灵活运用知识的能力。（六）课堂小结：1、学习本节课后，你有哪些收获？简要说说探索勾股定理的过程。2、你认为在运用勾股定理时需注意些什么？3、当一个三角形的三边a,b,c,满足a²+b²=c²时，这个三角形是直角三角形吗？【设计意图】问题1让学生对本节课的知识和方法进行总结，通过对勾股定理探索过程的反思，体会从特殊到一般的研究方法，感受数学规律的获得过程；第二个问题，让学生总结勾股定理运用的注意事项，第三个问题，为下节课的勾股定理逆定理的讲授提出疑问，做好铺垫。七、教学设计说明本节课我采取“问题导入——自主探究——归纳验证——练习运用——拓展延伸”的教学流程，这体现了知识发生，形成和发展的过程，其中渗透了观察，猜想，归纳，验证的数学方法和数形结合的思想。探索定理采用了面积法，引导学生利用实验由特殊到一般的思路，对直角三角形三边的关系的进行研究，得出结论。这种方法是认识事物规律的重要方法之一。通过教学，让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用。