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专题四┃北京中考圆中档题分析与预测专题四┃京考解读京考解读考情分析圆的中档解答题在第20题左右，分值为5分，难度中等偏上，是每一位考生力争满分的题型之一．所考查知识点相对稳定，考查学生对圆、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力.从题目本身来看，一般都是采取很标准的两问式．第一问证明切线，考查切线判定定理以及切线性质定理及推论，第二问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值，求其他线段长，综合考查圆与三角形的知识点．但是今年的第20题的第2问解答需要证明两次相似，加大了计算量，让较多的考生做起来感觉不顺手，这些试题上的变化需要引起我们的足够关注．专题四┃京考解读年份题号考点200819①垂径定理、圆周角定理；②切线的判定；③解直角三角形．200920①等腰三角形的性质；②切线的判定；③相似三角形的性质与判定；④解直角三角形．专题四┃京考解读年份题号考点201020①切线的判定；②解直角三角形．2011①圆周角定理；②切线的判定；③相似三角形的性质与判定；④解直角三角形．2012①垂径定理；②切线的判定与性质；③相似三角形的性质与判定；④解直角三角形.专题四┃京考解读京考解读与指导►热考一圆的切线的性质与判定例1已知：如图Z4－1，M是⊙O的直径AB上任意一点，过点M作AB的垂线MP，D是MP的延长线上一点，联结AD交⊙O于点C，且PD＝PC.(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tanD＝22，OA＝3，过点A作PC的平行线AN交⊙O于点N.求弦AN的长．专题四┃京考解读解：(1)直线PC与⊙O相切，证明如下：联结CO，∵DM⊥AB，∴∠D＋∠A＝90°.∵PD＝PC，∴∠D＝∠PCD.∵OC＝OA，∴∠A＝∠OCA，∴∠OCA＋∠PCD＝90°，∴PC⊥OC，∴直线PC是⊙O的切线．专题四┃京考解读(2)∵AN∥PC，∴∠NAC＝∠PCD＝∠D，AN⊥OC，设垂足是Q，则有NQ＝AQ.∴Rt△CQA中，tan∠QAC＝tanD＝22，设CQ＝x，则AQ＝2x，∴OQ＝3－x.∵OA2＝OQ2＋AQ2，∴32＝(3－x)2＋(2x)2，解得x＝2，∴AQ＝22，∴AN＝2AQ＝42.专题四┃京考解读例2[2012·孝感]如图Z4－2，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R专题四┃京考解读解：(1)证明：过O作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．专题四┃京考解读(2)过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A、B、E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13，在Rt△DFC中，DF＝DC2－CF2＝12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6.专题四┃京考解读圆的切线的判定为中考必考考点之一，证明思路为：(1)有交点，连半径，证垂直．这是最常见的类型，这类证明又常分为两种情况：①证明两个以上的角之和为90°，经常利用圆的有关性质(半径相等，圆周角定理等)进行等角代换；②证明一角为90°，经常通过证明两个直角三角形全等或是利用平行的性质得到．(2)无交点，作垂直，证半径．当此线与圆无交点时，过圆心向此线作垂线段，证明此垂线段长等于半径．专题四┃京考解读►热考二运用解直角三角形计算圆中有关线段的长例3[2012·西城一模]如图Z4－3，AC为⊙O的直径，AC＝4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD＝60°，BD与AC的交点为E.(1)求点O到BD的距离及∠OBD的度数；(2)若DE＝2BE，求cos∠OED的值和CD的长．专题四┃京考解读解：(1)如图，作OF⊥BD于点F，联结OD.∵∠BAD＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD＝120°.又∵OB＝OD，∴∠OBD＝30°.∵AC为⊙O的直径，AC＝4，∴OB＝OD＝2.在Rt△BOF中，∵∠OFB＝90°，OB＝2，∠OBF＝30°，∴OF＝OB·sin∠OBF＝2sin30°＝1，即点O到BD的距离等于1.专题四┃京考解读(2)∵OB＝OD，OF⊥BD于点F，∴BF＝DF.由DE＝2BE，设BE＝2x，则DE＝4x，BD＝6x，EF＝x，BF＝3x.∵BF＝OB·cos30°＝3，∴x＝33，EF＝33.在Rt△OEF中，∠OFE＝90°，∵tan∠OED＝OFEF＝3，∴∠OED＝60°，cos∠OED＝12.∴∠BOE＝∠OED－∠OBD＝30°.∴∠DOC＝∠DOB－∠BOE＝90°.∴∠C＝45°.∴CD＝2OC＝22.专题四┃京考解读解决圆中有关线段的计算的一种重要方法：通过添加辅助线，构建有特殊角的直角三角形进行计算，或是构建直角三角形，利用等角代换将已知角的三角函数转化为直角三角形中某一锐角的三角函数进行计算．►热考三运用相似三角形的性质与判定计算圆中有关线段的长专题四┃京考解读例4[2012·北京]已知：如图Z4－4，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，联结BE.(1)求证：BE与⊙O相切；(2)联结AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝23，求BF的长．专题四┃京考解读解：(1)证明：连接OC，∵OD⊥BC，∴OC＝OB，CD＝BD，∴△CDO≌△BDO，∴∠COD＝∠BOD.在△OCE和△OBE中，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOE,OE＝OE，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE＝∠OCE＝90°，即OB⊥BE，∴BE与⊙O相切．专题四┃京考解读(2)过点D作DH⊥AB，易证得△ODH∽△OBD，∴ODOB＝OHOD＝DHBD.又∵sin∠ABC＝23，OB＝9，∴OD＝6，∴OH＝4，HB＝5，DH＝25.又∵△ADH∽△AFB，∴AHAB＝DHFB，∴FB＝36513.专题四┃京考解读在圆中利用相似三角形的性质与判定来计算有关线段长度是常用方法之一．学生需要从结论入手展开思维，借助在图形上标注已知量，寻找未知与已知的联系，从而找到解决问题的突破口．在复杂图形中寻求或构建相似基本图形是解题的关键．在本题中，我们就通过添加辅助线DH，构建了两种相似基本图形进行计算．专题四┃京考解读例5[2012·昌平一模]如图Z4－5，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA于D.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD∶DC＝1∶3，AB＝8，求⊙O的半径．►热考四运用方程思想解决圆的计算问题专题四┃京考解读解：(1)证明：联结OC.∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC.∵CD⊥PA，∴∠ADC＝∠OCD＝90°，即CD⊥OC.∵点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．专题四┃京考解读(2)过O作OF⊥AB于F，∴∠OFA＝90°.∵AB＝8，∴AF＝4.在Rt△AFO中，∠AFO＝90°，∴AO2＝42＋OF2.∵∠FDC＝∠OFA＝∠DCO＝90°，∴四边形DFOC是矩形，∴OC＝DF，OF＝CD.∵AD∶DC＝1∶3，∴设AD＝x，则DC＝OF＝3x，OA＝OC＝DF＝DA＋AF＝x＋4，∴(x＋4)2＝42＋(3x)2，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1.则OA＝5.∴⊙O的半径是5.专题四┃京考解读尝试用列方程的思想方法解决几何的计算问题是一种重要的思想方法．