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专题二┃北京中考填空压轴题分析与预测专题二┃京考解读考情分析规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动，对学生的“数感”提出较高要求．新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新概念、新规则、新材料来创设新情境、提出新问题，要求学生运用它去解决新问题，并以此考查学生自学能力和阅读理解能力、知识迁移能力等综合素质．因此，这两个考点成为北京市中考填空压轴题的热点．京考解读专题二┃京考解读2008～2012年北京中考知识点对比年份题型20082009201020112012填空探究式的规律探究正方形折叠中的规律探究式的规律定义新运算，探究规律新定义探究规律专题二┃京考解读京考解读与指导►热考一规律探究性问题(一)与数与式有关的规律探究性问题例1一组按规律排列的式子：－b2a，b5a2，－b8a3，b11a4，…(ab≠0)，其中第7个式子是________，第n个式子是______________(n为正整数)．－b20a7(－1)nb3n－1an专题二┃京考解读[解析]第7个式子是－b20a7，第n个式子是(－1)nb3n－1an.观察给出的一列数，发现这一列数的分母a的指数分别是1、2、3、4、…，与这列数的项数相同，故第7个式子的分母是a7，第n个式子的分母是an；这一列数的分子b的指数分别是2、5、8、11、…，这一组数首项为2，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于3，第n项应为2＋3(n－1)＝3n－1.故第7个式子的分子是b3×7－1＝b20，第n个式子的分子是b3n－1；特别要注意的是这列数字每一项的符号，它们的规律是奇数项为负，偶数项为正，故第7个式子的符号为负，第n个式子的符号为－1n.专题二┃京考解读解决规律探究类问题，需要我们在平时的练习中积累一些常识性知识．(1)符号：如果一列数(式)每一项的符号为正负交替出现，那么①如果奇数项为负，偶数项为正，第n个式子的符号为(－1)n；②如果奇数项为正，偶数项为负，第n个式子的符号为(－1)n＋1.专题二┃京考解读(2)探究的数式规律，多数是函数的解析式．函数的解析式里常常包含着数学运算，将变量和序列号放在一起，做一些计算，是解答与数、式有关的规律探究性问题的好途径．①如果这一组数对每个数和它的前一个数进行比较增幅相等(即等差数列)，则第n个数yn是n的一次函数，表示为yn＝a＋(n－1)b(其中a为数列的第一位数，b为增幅)；②如果这一组数的增幅不相等，但是增幅以相同的幅度在增加，那么yn是n的二次函数，可以用待定系数法确定函数解析式．(见例2)③如果这一组数为循环数列，即几个数按一定的次序循环出现，找出循环节，判断第n个数位于循环节的位置即可．(见例3)专题二┃京考解读例2[2012·海淀二模]小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为________颗；当挪动n颗珠子时(n为大于1的整数),所得分数为___________(用含n的代数式表示)．挪动珠子数(颗)23456…所得分数(分)511192941…n2＋n－18专题二┃京考解读[解析]从表格中能看出所得分数为5、11、19、29、41….从上图中，我们能看出这一组数的增幅不相等，但是增幅以2的幅度在增加，∴所得分数是挪动珠子数的二次函数．专题二┃京考解读设挪动n颗珠子时(n为大于1的整数),所得分数为yn＝an2＋bn＋c，由题意得4a＋2b＋c＝5，9a＋3b＋c＝11，16a＋4b＋c＝19，解得a＝1，b＝1，c＝－1，∴yn＝n2＋n－1.令yn＝71，解得n＝8.专题二┃京考解读例3[2010·北京]如图Z2－1为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)，从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是_____；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C第2n＋1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________(用含n的代数式表示)．图Z2－1B6036n＋3专题二┃京考解读[解析]通过对字母观察可知：前六个字母为一组，后边就是这组字母反复出现.12除以6刚好余数为零，则表示这组字母刚好出现两次，∴最后一个字母应该是B.当字母C第201次出现时，由于每组字母中C出现两次，则这组字母应该出现100次后还要加一次C字母出现，而第一个C字母在第三个出现，∴100×6＋3＝603.当字母C第2n＋1次出现时，则这组字母应该出现2n次后还要加一次C字母出现，∴应该是n×6＋3＝6n＋3.专题二┃京考解读(二)与图形有关的规律探究性问题例4[2012·房山一模]如图Z2－2所示，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，A2C2，…，AnCn，则A1C1＝________，AnCn＝________．图Z2－296256·452n专题二┃京考解读[解析]在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，利用勾股定理得AB＝10，可由△A1CA∽△CBA计算得CA1＝245(也可由Rt△ABC斜边上的高h＝abc求得)，同理可求A1C1＝9625，AnCn＝6·452n.专题二┃京考解读(三)平面直角坐标系中的规律探索1．关于封闭图形内特殊点(图形)个数的探索例5[2012·北京]在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A(0，4)，点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是__________；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m＝________(用含n的代数式表示)．3或46n-3专题二┃京考解读[解析]根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部(不包括边界)的整点m之间的关系．当点B在(3，0)点或(4，0)点时，△AOB内部(不包括边界)的整点为(1，1)(1，2)(2，1)，共三个点，∴当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；专题二┃京考解读学生通过在试卷上精确作图，能够发现当n＝1时，点B的横坐标为4，此时m＝3；当n＝2时，点B的横坐标为8，此时m＝9；当n＝3时，点B的横坐标为12，此时m＝15.我们能够发现3、9、15为首项为3，公差为6的等差数列，很容易能够得到6n－3.专题二┃京考解读此类题解答的关键是先练后想，通过精确作图，列出关于两个变量变化情况的表格，再通过寻找数式规律得到解答．专题二┃京考解读2．以平面直角坐标系为载体的几何图形规律探索例6[2011·延庆二模]在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图Z2－4所示，点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2)．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n个正方形的面积为________(用含n的代数式表示).53245322n－2专题二┃京考解读[解析]观察图形可知，正方形都相似，△A1B1A2∽△A2B2A3，这些三角形的三边比等于1∶2∶5，可求出A1B1∶AB＝2∶3.同理可知每一个正方形与后一个正方形的相似比等于3∶2，∵第1个正方形的面积为5，∴2个正方形的面积为5(32)2，第3个正方形的面积为5(32)4，第n个正方形的面积为5322n－2.专题二┃京考解读以平面直角坐标系为载体的规律探究性问题，体现了“数”与“形”的完美结合．在坐标系中研究几何图形，实现线段长度和点的坐标的正确转换是关键，要注重横、纵坐标两者各自变化的规律以及两者之间的关系．解决问题的方法与前两种类型一致．专题二┃京考解读►热考二定义新运算例7[2011·北京]在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数ai，j规定如下：当i≥j时，ai，j＝1；当ij时，ai，j＝0.例如：当i＝2，j＝1时，ai，j＝a2，1＝1.按此规定，a1，3＝________；表中的25个数中，共有________个1；计算a1，1·ai，1＋a1，2·ai，2＋a1，3·ai，3＋a1，4·ai，4＋a1，5·ai，5的值为________．0151专题二┃京考解读[解析]因为13，根据规定，当ij时，ai，j＝0，所以a1，3＝0；按照方格中排序可知，满足i＝j的恰好为对角线上的五个数，从而可知i≥j的数共有15个；第3空按规律可知后四项都为0，因此结果为1.专题二┃京考解读定义新运算是指用一种新的运算符号或表达式表示一种新的运算规则，解决此类题的关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算．