第5章 弹性体振动分析(48页).

127第5章弹性体振动分析实际振动系统因其具有连续分布的质量与弹性而称之为弹性体系统，并同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从胡克（Hooke）定律。由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度是相似的。§5.1弦的横向振动理想振动弦（string）是最简单的弹性体之一。所谓理想振动弦，是指它具有一定的长度、弹性，并以一定方式张紧的均匀细线，它依靠张力作为弹性恢复力。图5.1.1所示为一根两端固定、用张力拉紧的弦。在静止状态下弦处于平衡位置，假定某时刻有一瞬时的外力干扰作用于弦，于是弦的各部分就在张力作用下开始垂直于弦长方向振动，而振动传播方向是沿着弦长方向，因此弦振动方式称为横向振动。图5.1.1理想弦示意图图5.1.2弦微段受力分析现以弦的横向振动为例，说明连续系统振动方程的建立和方程的求解方法。设弦的横向变形u既是空间变量x的函数，又是时间t的函数，即(,)uuxt\*MERGEFORMAT(5.1.1)如图5.1.2所示，在弦上x处取一微元dx的隔离体。若横向变形是微变形，由变形所引起的张力T的变化可忽略。并假设变形u与都很小。根据牛顿第二定律，弦的横向振动微分方程为22()()umdxTdxTtx\*MERGEFORMAT(5.1.2)将tanux代入上式，则横向振动微分方程可简化为12822222(0)uucxltx\*MERGEFORMAT(5.1.3)式中，2/cTm,m为弦的单位长度质量。考虑边界条件有(0,)0,(,)0utult\*MERGEFORMAT(5.1.4)初始条件有x处的初始位移()(,0)fxux，初始速度(,0)()uxgxt\*MERGEFORMAT(5.1.5)对于式(5.1.3)描述的弦横向振动微分方程，考虑系统具有与时间无关的阵型，即我们可以采用分离变量的方法求解，则设方程(5.1.3)的解为(,)()()uxtXxTt\*MERGEFORMAT(5.1.6)式中，()Xx为阵型函数，表征整个弦的振动形态；()Tt为时间函数，表征弦上点的振动规律。将（5.1.6）代入(5.1.3)可得222221()()TcXTttXxx\*MERGEFORMAT(5.1.7)上式的左边只与t有关，右边只与x有关，而x和t都是独立变量，因此上式必然等于一个与x和t都无关的常数，不妨令这个常数为2，代入(5.1.7)式就得到两个独立的方程2220dTTdt\*MERGEFORMAT(5.1.8)2220dXXdxc\*MERGEFORMAT(5.1.9)式（5.1.8）和式（5.1.9）的解分别为cossinttTAtBt\*MERGEFORMAT(5.1.10)cossinxxxxXABcc\*MERGEFORMAT(5.1.11)129其中系数tA、tB、xA、xB为待定系数。(5.1.11)式称为振型函数，它描绘了弦以固有频率作简谐振动时的振动形态，即主振型。根据以上两式得到方程(5.1.3)的解的一般形式为(,)()()(cossin)cos()xxuxtXxTtABtcc\*MERGEFORMAT(5.1.12)其中系数A、B和常数仍为待定参数，分别由边界条件和初始条件确定。对于两端固定的弦，固定端的位移为零，边界条件为(0,)0,(,)0utult\*MERGEFORMAT(5.1.13)由此可得0,sin0lABc根据弦振动的物理意义，若0B，则意味着弦不振动。因此必有sin0lc\*MERGEFORMAT(5.1.14)即(=1,2,3,)liic式(5.1.14)为弦振动的特征方程，也称为频率方程。从频率方程中可以求解出弦振动的各阶固有频率iiicl\*MERGEFORMAT(5.1.15)显然，弦的固有频率i只与弦本身的力学参量有关，且弦的固有频率有无穷个。由于弦的固有频率是以1倍、2倍、3倍…整数倍的关系离散变化的，因此我们将第一阶频率为弦的基频，而其它各阶固有频率称为谐频。由于弦的固有频率都为谐频，因此弦乐器的声音听起来都是和谐的，弦乐器都是根据弦的横向振动的原理制成的。将每一个固有频率i代入（5.1.11）式，就得到三角函数形式的各阶主振型130()sin,(=1,2,3)iiiXxBxil\*MERGEFORMAT(5.1.16)其中iB由初始条件确定。上式表明：当弦作基频振动时，在弦的两端振幅为零，而在2lx处振幅最大，我们将振幅为零的位置称为波节（两端固定必为波节），而将振幅最大的位置称为波腹。对于二阶振型，对应地出现3个波节和2个波腹，以此类推，n阶振型对应地出现n+1个波节和n个波腹。弦振动的前3阶振型参见图5.1.3。由于弦的每一阶振型对应的波节和波腹的位置是固定的，因此将这种振动方式为驻波方式。图5.1.3弦的前几阶振动方式由三角函数族的正交性可证明弦振动的不同主振型之间具有正交性，即对于mn的两个主振型()mXx和()nXx之间满足关系0()()0lmnXxXxdx\*MERGEFORMAT(5.1.17)由（5.1.15）可知，连续系统有无穷阶固有频率，所以又称其为无穷自由度系统。由于系统是线性的，其通解为所有主模态的叠加，即1(,)sincos()iiiiixuxtBtl\*MERGEFORMAT(5.1.18)式中iB，i由初始条件确定。现在来考虑初始条件对弦振动的影响。不失一般性，我们假设初始时刻弦的位移和速度分别为(,0)ux和(,0)vx，它们均为x的函数。将初始条件代入（5.1.18）式得到1(,0)sincosiiiixuxBl\*MERGEFORMAT(5.1.19)1311(,0)sinsiniiiiixvxBl\*MERGEFORMAT(5.1.20)利用弦的主振型的正交性，对上两式等号两边分别乘以sinixdxl，并从0到l积分，得到002cos(,)sin()2sin(,0)sin()liixliiixiBuxoxdxlliBvxxdxll\*MERGEFORMAT(5.1.21)由此可以确定iB和i，则弦的振动位移就可以完全确定。§5.2杆的纵向振动§5.2.1杆的自由振动1.等直杆的纵向振动微分方程如图5.2.1所示，一根理想弹性体的细直杆（bar）做纵向振动，假设杆的横截面在振动过程中仍然保持为平面，并不计杆的横向变形。(a)直杆结构受力图(b)微单元受力图图5.2.1等直杆的纵向振动示意图设杆的长度为l，单位体积质量为，横截面积为A，材料的弹性模量为E，杆在纵向分布力(,)qxt作用下作纵向振动，以杆的纵轴为x轴，在杆上x处取一微元段dx，且其左端的纵向位移为(,)uxt，则右端的xdx处的纵向位移为uudxx，所以dx段的变形为udxx，可得x处的应变为132ux\*MERGEFORMAT(5.2.1)而应力为NuEEAx\*MERGEFORMAT(5.2.2)式中N为x处杆的内力，则()NuEAxxx\*MERGEFORMAT(5.2.3)由微元段dx段的受力图（图5.2.1，b）可知，根据牛顿第二定律可得22()(,)uNAdxNdxNqxtdxtx\*MERGEFORMAT(5.2.4)即22(,)uNAqxttx22()(,)uuAEAqxttxx对于EA为定值的的定常连续等直杆，上式可简化为221()(,)uEuqxttxxA通常定义2Ea，a为弹性纵波在杆内纵向传播的速度。上式变为222221(,)uuaqxttxA\*MERGEFORMAT(5.2.5)133式（5.2.5）即等直杆纵向受迫振动方程。令(,)0qxt，便得等直杆纵向自由振动方程22222uuatx\*MERGEFORMAT(5.2.6)2.固有频率和主振型假设系统按某一主振型振动时，其上所有质点都做简谐运动，即杆上所有点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。我们可以采用分离变量的方法求解，即自由振动方程（5.2.6）的解为(,)()()uxtUxTt\*MERGEFORMAT(5.2.7)式中，()Ux为阵型函数，代表杆上距原点x处截面的纵向振动幅值；()Tt为时间函数，表征杆上各点的振动规律。将式（5.2.7）代入式（5.2.6）可得22222()1()()()aUxTtUxxTtt\*MERGEFORMAT(5.2.8)上式的左边只与x有关，而右边只与t有关，而x和t都是独立变量，因此上式必然等于一个与x和t都无关的常数，不妨令这个常数为2，代入（5.2.8）式可得2220dTTdt\*MERGEFORMAT(5.2.9)最后化简可得2222()()0dUxUxdxa\*MERGEFORMAT(5.2.10)当U(x)具有非零解、且符合杆端边界条件的情况下，求解2值及振型函数()Ux称为杆作纵向振动的特征值问题。2为特征值，而是固有频率。式（5.2.10）的解可表示为()cossinxxUxABaa\*MERGEFORMAT(5.2.11)134由杆的边界条件，可以确定2值及振型函数()Ux。确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型：（1）两端固定的情况。边界条件为(0)0()0UUl，\*MERGEFORMAT(5.2.12)将（5.2.12）代入（5.2.10）可得：0A，sin0lBa所以sin0la\*MERGEFORMAT(5.2.13)上式即为两端固定杆的固有频率方程。由此可以解出各阶固有频率为(=1,2,3,)iiail\*MERGEFORMAT(5.2.14)相应主阵型为()sin(=1,2,3,)iiiUxBxil\*MERGEFORMAT(5.2.15)分别令1,2,3i，可得系统前三阶固有频率和主振型为1al，11()sinUxBxl22al，222()sinUxBxl33al，333()sinUxBxl两端固定杆前三阶主阵型表示如图5.2.2。(a)结构图(b)振型图图5.2.2两端固定杆振动系统及前三阶主振型示意图135（2）一端固定，一端自由的情况（以左端固定，右端自由为例）边界条件为(0)0,()0xldUUvldx\*MERGEFORMAT(5.2.16)将（5.2.16）代入（5.2.10）可得：0A，cos0Blaa所以频率方程cos0la\*MERGEFORMAT(5.2.17)由此可以解出各阶固有频率为(21)(=1,2,3,)2iiail\*MERGEFORMAT(5.2.18)相应主阵型为(21)()sin(=1,2,3,)iiiUxBxil\*MERGEFORMAT(5.2.19)(3)两端都自由的情况边界条件为0(0)0,()0xxldUdUvvldxdx\*MERGEFORMAT(5.2.20)将（5.2.20）代入（5.2.10）可得：0B，sin0Alaa所以频率方程sin0la\*MERGEFORMAT(5.2.21)由此可以解出各阶固有频率为(1,2,3,)iiail\*MERGEFORMAT(5.2.22)相应主阵型为()cos(1,2,3,)iiiUxAxil\*MERGEFORMAT(5.2.23)136上式中当0i，0时为刚体阵型，00()UxA，0A为常数，由于0，由式（5.2.9）可以设时间