2015-2016学年度八年级上册经典几何题分类训练

八年级上册经典几何题分类训练常见辅助线的作法有以下几种：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、以等边三角形为基础1．已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90O，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．2.如图，△ABC为等边三角形，AB=6cm，O为AB上的任意一点（与B点不重合），OD⊥BC于D；DE⊥AC于E；EP⊥AB于P。问：当OB的长等于多少时，点P与点O重合？DECPOBA二、以等腰直角三角形为基础3.如图1图2图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？（3）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？4．如图，两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠ABC=30°，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．GHFEDCBA5.已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：如果AB=AC，∠BAC=90°．（i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的关系为______________（ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？6.如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：（1）AD=AG，（2）AD与AG的位置关系如何？ABFCDE7.在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点.写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系，并说明理由.（1）若点M、N分别是AB、AC上的点，且BM=AN，试判断△OMN形状，并证明你的结论.(2)、、ABCS△又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．8.如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．（1）若BD平分∠ABC，求证:（i）CE=12BD；（ii）BC=AB+AD；（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。三、以角平分线为基础9.如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC.求证：BE=CF.EDCBA10.如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN,按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E。（1）∠AEB是什么角？（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由。四、利用面积一定解题11、如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系,并给予证明.EDCBAMF12.如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE+PF=AB．五、综合变式，类比法是关键13.已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC∠，60MBN∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，．当MBN∠绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．当MBN∠绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．14.如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时∆PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（图1）ABCDEFMN（图2）ABCDEFMN（图3）ABCDEFMNAPBQCM第14题图1APBQCM第14题图2BCADMN15.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：△ABC≌△DCB；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．16.已知：如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。求证：∠ABE=∠C；若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。17.已知：如图，ABC△是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC∥，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AECD，．（1）求证：AGEDAC△≌△；（2）过点E作EFDC∥，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF△是怎样的三角形，试证明你的结论．18.已知：△ABC边BC上的高AD所在的直线与AC上的高BE所在的直线相交于点F（1）如图①，若△ABC为锐角三角形且∠ABC=45°过点F做FG∥BC，交直线AB于点G，试探究线段FG，DC，AD三者之间满足怎样的数量关系？并说明理由（2）如图②，若∠ABC=135°，其他的条件不变，试探究（1）中三条线段之间满足怎样的数量关系?并说明理由CGAEDBFABFCED19.如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.求证：AF=AD+CF20.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC21.（1）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠EDC的度数．BACDF21E22.(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.23.【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．（第22题图）ABCEDm（图1）（图2）（图3）mABCDEADEBFCmADBCE图2-1截长补短法人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，在Rt△ADE与Rt△CDF中，CDADDFDE∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°例2.如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取CF=BC，如图2-2在△FCE与△BCE中，ABCD图1-1FEDCBA图1-2CECEBCEFCECBCF∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1.又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，43DEDEADEFDE∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD，在Rt△BPE与Rt△BPD中，BPBPPDPE∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在Rt△APE与Rt△CPD中,DCAEPDCPEAPDPEADBCEF1234图2-2ABCDP12N图3-1P12NABCDE图3-2∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°例4.已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.分析：从