条件极值问题

Lagrange乘数法在考虑函数的极值或最值问题时，经常需要对函数的自变量附加一定的条件。例如，求原点到直线⎩⎨⎧=++=++632,1zyxzyx的距离，就是在限制条件1=++zyx和632=++zyx的情况下，计算函数222),,(zyxzyxf++=的最小值。这就是所谓的条件极值问题。§7条件极值问题与Lagrange乘数法以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数),,(zyxf在约束条件⎩⎨⎧==0),,(,0),,(zyxHzyxG下的极值。假定GFf,,具有连续偏导数，且Jacobi矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=zyxzyxHHHGGGJ在满足约束条件的点处是满秩的，即2rank=J。先考虑条件极值点所满足的必要条件。上述约束条件可看成是空间曲线的方程。设曲线上一点),,(000zyx为条件极值点，由于在该点2rank=J，不妨假设在),,(000zyx点0),(),(≠∂∂zyHG，则由隐函数存在定理，在),,(000zyx附近由该方程可以唯一确定),(),(),(0ρxOxxzzxyy∈==（)(),(0000xzzxyy==）。它是曲线方程的参数形式。将它们代入目标函数，原问题就转化为函数),()),(),(,()(0ρxOxxzxyxfx∈=Φ的无条件极值问题，0x是函数)(xΦ的极值点，因此0)(0=Φ′x，即0),,(),,(),,(000000000=++dxdzzyxfdxdyzyxfzyxfzyx。这说明向量kji),,(),,(),,(),,(grad000000000000zyxfzyxfzyxfzyxfzyx++=与向量⎟⎠⎞⎜⎝⎛=dxdzdxdy,,1τ正交，即与曲线在),,(000zyx点的切向量正交，因此),,(grad000zyxf可看作是曲线在),,(000zyx点处的法平面上的向量。由定理12.5.1，这个法平面是由),,(grad000zyxG与),,(grad000zyxH张成的，因此),,(grad000zyxf可以由),,(grad000zyxG和),,(grad000zyxH线性表出，或者说，存在常数00,μλ，使得),,(grad000zyxf=0λ),,(grad000zyxG+0μ),,(grad000zyxH，这就是点),,(000zyx为条件极值点所满足的必要条件。将这个方程按分量写出就是⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−=−−.0),,(),,(),,(,0),,(),,(),,(,0),,(),,(),,(000000000000000000000000000000000zyxHzyxGzyxfzyxHzyxGzyxfzyxHzyxGzyxfzzzyyyxxxμλμλμλ于是，如果构造Lagrange函数),,(),,(),,(),,(zyxHzyxGzyxfzyxLμλ−−=（μλ,称为Lagrange乘数），则条件极值点就在方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===−−==−−==−−=0,0,0,0,0HGHGfLHGfLHGfLzzzzyyyyxxxxμλμλμλ的所有解),,,,(00000μλzyx所对应的点),,(000zyx中。用这种方法来求可能的条件极值点的方法，称为Lagrange乘数法。作为一个例子，现在用Lagrange乘数法来解决本节开始提出的问题，即求函数222),,(zyxzyxF++=在约束条件⎩⎨⎧=++=++632,1zyxzyx下的最小值（最小值的平方根就是距离）。为此，作Lagrange函数)632()1(),,,,(222−++−−++−++=zyxzyxzyxzyxLμλμλ，在方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=−++=−++=−−==−−==−−=.0632,01,032,022,02zyxzyxzLyLxLzyxμλμλμλ中，把方程组中的第一、第二和第三式相加，再利用第四式得263=+μλ。把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加，再利用第五式得12146=+μλ。从以上两个方程解得4,322=−=μλ，由此可得唯一的可能极值点37,31,35==−=zyx。由于点到直线的距离，即这个问题的最小值必定存在，因此这个唯一的可能极值点⎟⎠⎞⎜⎝⎛−37,31,35必是最小值点，也就是说，原点到直线⎩⎨⎧=++=++632,1zyxzyx的距离为32537,31,35=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−F=35。一般地，考虑目标函数),,,(21nxxxf在m个约束条件);,,2,1(0),,,(21nmmixxxgni==下的极值，这里),,2,1(,migfi=具有连续偏导数，且Jacobi矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=nmmmnnxgxgxgxgxgxgxgxgxgJ###212221212111在满足约束条件的点处是满秩的，即mJ=rank。那么我们有下述类似的结论：定理12.7.1（条件极值的必要条件）若点0x),,,(00201nxxx=为函数)(xf满足约束条件的条件极值点，则必存在m个常数mλλλ,,,21，使得在0x点成立mmgggfgradgradgradgrad2211λλλ+++=。于是可以将Lagrange乘数法推广到一般情形。同样地构造Lagrange函数∑=−=miniinmnxxxgxxxfxxxL121212121),,,(),,,(),,,,,,,(λλλλ，那么条件极值点就在方程组（*）),,2,1;,,2,1(,0,01mlnkgxgxfxLlmikiikk==⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂−∂∂=∂∂∑=λ的所有解),,,,,,,(2121mnxxxλλλ所对应的点),,,(21nxxx中。判断如上所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件，我们不加证明地给出。定理12.7.2设点0x),,,(00201nxxx=及m个常数mλλλ,,,21满足方程组（*），则当方阵nnmlkxxL×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂),,,(2102λλλx为正定（负定）矩阵时，0x为满足约束条件的条件极小（大）值点，)(0xf为满足约束条件的条件极小（大）值。注当定理中的方阵为不定时，并不能说明)(0xf不是极值。例如，在求函数222),,(zyxzyxf−+=在约束条件0=z下的极值时，构造Lagrange函数zzyxzyxLλ−−+=222),,(，并解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==−−=====0,02,02,02zzLyLxLzyxλ得0====λzyx。而在)0,0,0,0(点，方阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200020002zzzyzxyzyyyxxzxyxxLLLLLLLLL是不定的。但在约束条件0=z下，0)0,0,0(),,(22=≥+=fyxzyxf，即)0,0,0(f是条件极小值。在实际问题中往往遇到的是求最值问题，这时可以根据问题本身的性质判定最值的存在性。这样的话，只要把用Lagrange乘数法所解得的点的函数值加以比较，最大的（最小的）就是所考虑问题的最大值（最小值）。例12.7.1要制造一个容积为a立方米的无盖长方形水箱，问这个水箱的长、宽、高为多少米时，用料最省？解设水箱的长为x、宽为y、高为z（单位：米），那么问题就变成在水箱容积axyz=的约束条件下，求水箱的表面积yzxzxyzyxS22),,(++=的最小值。作Lagrange函数)(22),,,(axyzyzxzxyzyxL−−++=λλ，从方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−+==−+==−+=0,022,02,02axyzxyyxLxzzxLyzzyLzyxλλλ得到唯一解22,2,2333azayax===。由于问题的最小值必定存在，因此它就是最小值点。也就是说，当水箱的底为边长是32a米的正方形，高为223a米时，用料最省。例12.7.2求平面0=++zyx与椭球面14222=++zyx相交而成的椭圆的面积。zOyx图12.7.1解椭圆的面积为abπ，其中ba,分别为椭圆的两个半轴，因为椭圆的中心在原点，所以ba,分别是椭圆上的点到原点的最大距离与最小距离。于是，可以将问题表述为，求222),,(zyxzyxf++=在约束条件⎩⎨⎧=++=++14,0222zyxzyx下的最大值与最小值。作Lagrange函数)14()(),,,,(222222−++−++−++=zyxzyxzyxzyxLμλμλ，得到相应的方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=−++=++=−−==−−==−−=.014,0,0)41(2,0)1(2,0)1(2222zyxzyxzLyLxLzyxλμλμλμ解法一：.将以上方程组中的第一式乘以μ41−，第二式乘以μ41−，第三式乘以μ−1后相加，得到0)31(3=−μλ，因此0=λ或031=−μ。分两种情况讨论：（1）当0=λ时，将以上方程组中的前三个式子相加得06=zμ。但此时0≠μ（否则从0,0==μλ得到0===zyx，这不是椭圆上的点），因此0=z。代入方程组0=++zyx，014222=−++zyx就得到),,(zyx的两组解⎟⎠⎞⎜⎝⎛−0,21,21与⎟⎠⎞⎜⎝⎛−0,21,21，f在这两个点的值都是1。（1）当031=−μ时，从方程组中的前三个式子得到λλλ23,43,43−===zyx。代入014222=−++=zyxLx得到922±=λ。它对应),,(zyx的两组解为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−32,62,62和⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−32,62,62，f在这两个点的值都是31。由于椭圆的长轴与短轴必存在，因此f在椭圆⎩⎨⎧=++=++14,0222zyxzyx上的最大值与最小值必存在，于是立即得到该椭圆的半长轴为1，半短轴为31，面积为3π。解法二：将以上方程组中的第一式乘以x，第二式乘以y，第三式乘以z后相加，再利用0=++zyx和14222=++zyx得到μ=++=222),,(zyxzyxf。这说明椭圆的半长轴与半短轴的平方包含在方程组关于μ的解中，所以问题转化为求μ的值。如解法一得到0)31(3=−μλ，也分两种情况：（1）当031=−μ时，得31=μ。（1）当0=λ时，原方程组就是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=−++=++=−=−=−.014,0,0)41(,0)1(,0)1(222zyxzyxzyxμμμ此时1=μ（否则从以上方程组的第一，第二和第四式得到0===zyx，这不是椭圆上的点）。于是同样得到，该椭圆的半长轴为1，半短轴为31，面积为3π。许多实际问题并不需要完全解出方程组来求得最值，解法二就是一种常用的方法，可以使解决问题的方法与计算简化。例12.7.3求函数222),(cybxyaxyxf++=（0,,;02−cbaacb）在闭区域}1|),{(22≤+=yxyxD上的最大值和最小值。解首先考察函数f在D的内部}1|),{(22+yxyx的极值，这是无条件极值问题。为此解线性方程组⎩⎨⎧=+==+=.022,022cybxfbyaxfyx由假设02−acb知道方程组的系数行列式不等于零，因此只有零解0,0==yx，即)0,0(点是驻点。易计算在)0,0(点cfbfafyyxyxx2)0,0(,2)0,0(,2)0,0(===，因此0)(4)0,0()0,0()0,0(22−=−bacfffxyyyxx。而0xxf，所以)0,0(点是函数f的极小值点，极小值为0)0,0(=f。再考察函数f在D的边界}1|),{(22=+yxyx上的极值，这是条件极值问题。为此作Lagrange函数)1(2),,(2222−+−++=yxcybxyaxyxLλλ，并得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−+=−+=+−.01,0)(,0)(22yxycbxbyxaλλ将方程组中的第一式乘以x，第二式乘以y后相加，再用第三式代入就得到λλ=+=++=)(2),(2222yxcybxyaxyxf，这说明),(yxf在}1|),{(22=+yxyx上的极大值与极小值包含在方程组关于λ的解中。下面来求λ的值。由联立方程组中的0122=−+yx，可知二元一次方程组⎩⎨⎧=−+=+−0)(