行动教育中改进数学课堂教学

在“行动教育”中改进数学课堂教学顾泠沅杨玉东上海市教育科学研究院华人地区数学教学“悖论”引发的思考国际TIMSS报告、国内学者比较研究：华人地区强调技能技巧(批评——“题海战术”“强化训练”)结论：教师事关重大，改革最终发生在课堂上西方国家强调应用情境(批评——“给问题穿上现实的外衣”)超越技巧穿透情境回归数学本原1.“行动教育”聚焦于怎样改进数学课堂教学参见顾泠沅、王洁（2003）：教师在教育行动中成长——以课例为载体的教师教育模式研究。原载《课程·教材·教法》第1、2期，《全球教育展望》第1期，转载于《人民教育》第6期。数学教师“行动教育”以超越技巧、穿透情境为主题原行为阶段关注个人已有经验的教学行为新设计阶段关注新理念的课例设计新行为阶段关注学生获得的行为调整更新理念反思1：寻找自身与他人的差距改善行为反思2：寻找设计与现实的差距课例为载体/教师与研究者的合作平台：理论学习、教学设计、行为反省2002年预研究，2003年上海范围初步推广，2004年以校本教研形式在全国30省（自治区）推行。对行动研究的改进①关注小组学习行动研究者可以是群体，也可以是一个个体。行动教育强调集体智慧，建立教师与教师、研究者与实践者合作学习的行动主体。②关注主体悟性行动研究侧重于改善行为，但理性思考或对理论支持的力度明显不够。行动教育让知识创造模式与行为反馈机制同时进入工作流程，强调“学懂的东西做出来，做好的东西说出来”，注重通过主体悟性把行为与理性联结起来。③关注技术平台行动教育以课例为载体，十分重视采用现场观察、录像带分析、案例研究，甚至视频案例（video-case）等技术，作为教师学习与研究的工具。2.课例:“有余数除法”就是“分豆子”！Freudenthal研究所的达朗其(JandeLange,1996)在ICME-8的大会报告中介绍了荷兰的一堂课：81名家长出席学校家长会，每张桌子可坐6人，需要布置多少张桌子？第一类学生具体地摆桌子；第二类学生经历了摆桌子到形式计算的抽象；第三类学生套用现成算式去做。实际上，三类学生中只有第二类才经历了具体到形式的抽象、真正体验到了“数学化”的含义。（1）注重技巧的原行为①商、余数的“名数”易错易混，因此先要区分包含除与等分除17(人)÷8(人)=2(桌)……1(人)17(人)÷2(桌)=8(人)……1(人)纠缠于枝节，未突出“有余数”这个要点②“试商”是关键性技巧，因此先要训练括号里最大能填几6×()＜4113×()＜41技巧性铺垫，未关注试商的实际意义③最后要学生寻找规律，学生都说“不知道”忘记了对小学生来说“数学就是生活”16÷5=3……117÷5=3……218÷5=3……319÷5=3……4余数(1、2、3、4)与除数(5)比较大小，得出余数小于除数实物被除数除数商余数形式化寻找意义试商过程试商过程余数小于除数余数小于除数算式273617÷3=2……1不能分了？盘子里试着放几颗盘子里试着放几颗余下的豆子数比盘子数少余下的豆子数比盘子数少.………..……...儿童生活经验：“除法就是分豆子”。教师由此得到启发。……………………（2）注重数学化的新理念学生真实地找出规律：（3）创造新行为：脑中分豆子关注“学生获得”所遇到的困难：①做除法要“拿豆子来”，只会动手做、不会动脑想。课堂热热闹闹，却陷入了数学教学的浅薄与贫乏。②学生不会形式化，最后只能记住除法的操作程序。创设情境兜了一大圈，还是回到死读硬记。教师的创造：在实物与算式只设置一个中介——放掉豆子和盘子，学生在脑中分豆子，终于越过了形式化的难关。学生脑中怎样分？7颗豆子怎样分在3个盘子里?3个盘子,每盘试放1颗豆子,共放3颗,比7颗少3个盘子,每盘试放2颗豆子,共放6颗,比7颗少3个盘子,每盘试放3颗豆子,共放9颗,比7颗多每盘只能放2颗,这样余下1颗由此还得出规律:被除数=除数×商+余数多好的本原性思考，深奥的“余数定理”在小学就准备了认知的固着点。（4）分豆子与布鲁纳的认知理论实物操作表象操作符号操作分豆子脑中分豆子算式运算（具体）（半具体、半抽象）（抽象）寻找规律数学是在具体、半具体、半抽象、抽象中间的铺排，是穿梭于实物与算式之间所作的形式化过渡。（5）录像带纪实是有力手段（6）让学生发现“余数比除数小”师生语言互动时间分布表改进前(423″)改进后(410″)弗兰德师生语言互动分类时间(″)百分比(%)合计时间(″)百分比(%)合计①接纳学生感觉51.2163.9②赞许学生行为225.2235.6回应③接受学生观点122.8112.7中立④问学生问题235.47217.6⑤演讲4811.3256.1⑥指示或命令317.300教师讲自发⑦批评或辩护权威行为255.9166″39.2%00147″35.9%回应⑧回答老师的提问或按老师要求表述6615.6338.1学生讲自发⑨主动表达自己的观点或向老师提出问题4310.2109″25.8%9523.2128″31.2%静止中立⑩静止或疑惑暂时停顿或不理解337.87.8%000%小组讨论11527.227.2%13532.932.9%（7）师生语言互动状况及其理念与行为的改变1.课堂静止或不理解的时间⑩、教师指示或命令⑥、批评或辩护权威行为⑦在改进课中下降为零；教师演讲⑤、学生按老师要求表述⑧明显减少2.教师的提问④、学生主动表达自己的发现的语言⑨在改进课中明显增加；教师接纳学生感觉的语言①也有上升0510152025⑩⑥⑦⑤⑧④⑨③②①改进前改进后（%）3.课例:“勾股定理”能探究出来吗？勾股定理是数学教改的晴雨表：上一世纪五六十年代数学课程中的严格论证、后来提倡的“量一量、算一算”、之后的“告诉结论”、“做中学”，直到现在的探究式等。数学教学要培养学生的数学计算、数学论证乃至数学决策等三大能力，勾股定理教学正是一个恰当的例子。a2+b2=c2（1）回顾原教学行为欧几里德方法(等积变形推导)技巧难度太高设置动手情境“量一量、算一算”得不出a2+b2=c2“剪一剪、拼一拼”学生不会剪拼提供勾股数组:32+42=5262+82=102简化为铺地砖:特殊情境成了直接暗示,无异于告诉事实优秀教师不满足于以往的教学行为。查阅第3次国际数学与科学重复录像研究项目提供的12个勾股定理教学录像，没有获得满意的结果。尝试新的教学设计，要点是：①目标在于体现“猜想—证明”这种数学思想方法的本原性意义。②探究需要“铺垫”（有层次推进的策略）。就像学游泳，不能让所有学生都直接跳到海里，要有一定的背景知识和带关键性的技能、策略作铺垫。铺垫也称“脚手架”，为学生提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下向高认知学习任务的难度攀升。（2）在不满中寻找出路（3）情境铺垫出猜想①问题:直角三角形两条直角边和斜边之间有什么关系?a、b＜c＜a+b（已有知识）两边平方怎么样?a2、b2＜c2＜②铺垫:在方格纸内斜放一个正方形ABCD，每个小方格的边长为单位1，怎样计算正方形ABCD的面积？(a+b)2a2+2ab+b2③数据表：用前面的方法分别计算下列四个图形中的a2、b2、2ab及c2的值，并填表。代数项图Ⅰ图Ⅱ图Ⅲ图Ⅳ…a214916b24916252ab4122440c25132541学生的发现出乎意料：c2=2ab+1a2+b2=c2a+b+a2=b22ab+c2=(a+b)2等!(4)反驳与证明的师生对话[生1]根据数据表,我得出c2=2ab+1的结论。[师][很惊讶]怎么会,不可能吧?[生2]我做过a=2,b=4的例子,这时2ab=16,c2=20,c2≠2ab+1。[师]生2用举例来“反驳”,有说服力,c2=2ab+1这一结论不能成立。[生3]老师,当a与b相差1的时候,这个结论还是成立的。[师][心中想c2=(a-b)2+2ab,b-a=1时,c2=2ab+1]这个意见也是对的,这是一个有条件的结论。好,下面我们来看看另外一个结论a2+b2=c2。[生4]这个结论对前面已举过的图例来说都是成立的,但是我想,即使100个例子都正确,101个例子不成立了呢?所有例子都成立才是定理,只要有1个例子不成立还是个有条件的结论。[师]a2+b2=c2是否是个定理,举例再多也说明不了,怎么办?[生众]看来必须证明。（5）拆除铺垫引导论证把图中的小方格背景撤去，并且隐去a、b的具体数值，在一般的直角三角形中，a2+b2=c2是否同样成立？学生利用前面计算直角三角形斜边上正方形面积的方法，顺利地证明了这一结论的正确性。abc（6）学生活动做扩充课后，学生的自我扩充活动分三方面展开①设计数据表出猜想②上网学习勾股定理的史料与多种证明③收集、编拟勾股定理的应用题如如如R=6400kmS=0.005km中国古代文明c2=2ab+(a-b)2=a2+b2第一宇宙速度v2=(R+s)2-R2≈2RS=64v=8kmRsv地球格点多边形面积S=N+-1(N为内点数,L为边点数)2L(7)课堂价值取向与行为类型的变化51.216.83.828.226.723.546.63.20102030405060教师讲授师生问答学生探究学生练习百分比改进前改进后•教师讲授时间减少，学生探索时间明显增加，课堂价值观正向能力取向移动•由于探索时间增加，学生课堂练习时间有所减少，但课外思考的空间扩大了4.改进数学课堂教学的认识问题以上两个课例足以说明数学课堂教学存在着巨大的“改进空间”。这方面的认识问题，参见顾泠沅等编著：《寻找中间地带——国际数学教育改革的大趋势》，上海教育出版社，2003年。课堂教学认知水平的提高、保持及其因素保持1探究保持2解释记忆提高2提高1提高3课例观察（提高、保持），教师个人与群体的柔性“碰撞”。课堂教学回归数学本原（具有数学对象、方法和应用意义的理念或元素）①数学的对象不外“数”与“形”，虽然近代的观念，已与原始的意义相差甚远。②数学的主要方法，是逻辑的推理。因之建立了一个坚固的思想结构。③这些结果会对其他学科有用，是可以预料的。但应用远超过了想象。数学固然成了基本教育的一部分。其他科学也需要数学作理想的模型，从而发现相应科学基本规律。摘自陈省身为《数学百科全书》（中译五卷本，科学出版社出版）所写的序谢谢！