5-2_矩阵范数1234(精)

矩阵论电子教程DepartmentofMathematics,CollegeofSciences哈尔滨工程大学理学院应用数学系DepartmentofMathematics向量与矩阵的重要数字特征第五章DepartmentofMathematics(1)非负性:当且仅有当:0,0AA0,0AA(2)齐次性：为任意复数。,kAkAk定义：对于任何一个矩阵，用表示按照某一确定法则与矩阵相对应的一个实数，且满足AAmnAC(4)矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以相乘的矩阵,都有:,ABABAB(3)三角不等式：对于任意两个矩阵ABAB,AB§5.2矩阵范数DepartmentofMathematics那么我们称是矩阵的范数。AA例1：对于任意，定义可以证明如此定义的的确为矩阵的范数。证明：只需要验证此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性，齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证乘法的相容性。设，则:mnAC11mnijijAaAA,mppnACBC称为范数1mADepartmentofMathematics11111111111111[()()]()()ppmnmnikkjikkjijkijkppmnikkjijkkppmnikkjikjkABababababABDepartmentofMathematics证明：非负性，齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑乘法的相容性。设那么,nnnnACBC例2：设矩阵，证明：是矩阵范数。nnAC,maxijijAna,,11,,,,maxmaxmaxmaxmaxmaxnnikkjikkjijijkkikkjikkjikkjikkjABnabnabnnabnanbAB因此为矩阵的范数。AA称为范数mADepartmentofMathematics证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。我们称此范数为矩阵的Frobenious范数。A证明也是矩阵的范数。例3：对于任意，定义mnAC12211()mnijFijAaAA设，则,mllnACBC称为范数2mADepartmentofMathematics22211111122111122111122()[()()]()()mnlmnlikkjikkjFijkijkmnllikkjijkkmlnlikkjikjkFFABababababAB于是有:FFFABABCauchy-SchwarzinequalityDepartmentofMathematics例4：对于任意，定义证明如此定义的是矩阵的范数。nnAC12[()]HATrAAAA1122211[()]()mnHijijTrAAa证明：首先注意到这样一个基本事实，即可知此定义满足范数的性质。证明略DepartmentofMathematics1）如果，那么12nA2221niFiAFrobenious范数的性质：21()()nHHiFiATRAAAA2）3)设，则对任意n阶酉矩阵U和V，恒有nnACFFFFUAAVUAVA称之为F–范数的酉不变性DepartmentofMathematicstr[()()]tr()tr()HHHHFFUAUAUAAUUAAAA,nnABCtr()tr()ABBAtr[()()]tr[()]tr()HHHHHFFAVAVAVVAAVAAVVA证明：3)FFFUAVAVADepartmentofMathematics定理1:设是矩阵的任意两种范数，则总存在正数使得,AA12,ddA12,mndAAdAAC关于矩阵范数的性质和定理定理2:设,则:)(,nnnnRCBA(1)0nnOBABA)2((3)是关于A中各元素的连续函数Aija(4)上任意两个矩阵范数是等价的)(nnnnRCDepartmentofMathematics