2020高考人教版数学(文)总复习课件：第四章-平面向量、数系的扩充与复数的引入-4-3

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及应用举例考纲考情考向预测1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.从近三年高考情况来看，本节一直是高考中的热点．预测2020年将主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.真题模拟演练课堂探究考点突破课堂探究考点突破考点一平面向量数量积的运算(1)(2019·云南第一次统一检测)在▱ABCD中，|AB→|＝8，|AD→|＝6，N为DC的中点，BM→＝2MC→，则AM→·NM→＝()A．48B．36C．24D．12C解析：AM→·NM→＝(AB→＋BM→)·(NC→＋CM→)＝AB→＋23AD→·12AB→－13AD→＝12AB→2－29AD→2＝12×82－29×62＝24.(2)(2019·石家庄质检)在△ABC中，已知AB→与AC→的夹角为90°，|AB→|＝2，|AC→|＝1，M为BC上的一点，且AM→＝λAB→＋μAC→(λ，μ∈R)，且AM→·BC→＝0，则λμ的值为.14解析：法一：∵BC→＝AC→－AB→，AM→·BC→＝0，∴(λAB→＋μAC→)·(AC→－AB→)＝0，∵AB→与AC→的夹角为90°，|AB→|＝2，|AC→|＝1，∴－λ|AB→|2＋μ|AC→|2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，所以AB→＝(0,2)，AC→＝(1,0)，BC→＝(1，－2)．设M(x，y)，则AM→＝(x，y)，所以AM→·BC→＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又AM→＝λAB→＋μAC→，即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以λμ＝12y2y＝14.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．(1)如图，已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为()A．－58B.18C.14D.118B解析：由条件可知BC→＝AC→－AB→，AF→＝AD→＋DF→＝12AB→＋32DE→＝12AB→＋34AC→，所以BC→·AF→＝(AC→－AB→)·12AB→＋34AC→＝34AC→2－14AB→·AC→－12AB→2.因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以|AC→|＝|AB→|＝1，∠BAC＝60°，所以BC→·AF→＝34－18－12＝18.(2)(2019·成都模拟)已知菱形ABCD边长为2，∠B＝π3，点P满足AP→＝λAB→，λ∈R，若BD→·CP→＝－3，则λ的值为()A.12B．－12C.13D．－13A解析：法一：由题意可得BA→·BC→＝2×2cosπ3＝2，BD→·CP→＝(BA→＋BC→)·(BP→－BC→)＝(BA→＋BC→)·[(AP→－AB→)－BC→]＝(BA→＋BC→)·[(λ－1)·AB→－BC→]＝(1－λ)BA→2－BA→·BC→＋(1－λ)BA→·BC→－BC→2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝12，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，3)，D(－1，3)．令P(x,0)，由BD→·CP→＝(－3，3)·(x－1，－3)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.∵AP→＝λAB→，∴λ＝12.故选A.考点二平面向量数量积的性质角度1平面向量的夹角问题(2019·泰安质检)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为()A.77B.78C.714D.5714D解析：不妨设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－12，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝52，又|a|＝1，|2a－b|＝2a－b2＝4a2－4a·b＋b2＝7，所以a与2a－b夹角的余弦值为a·2a－b|a|·|2a－b|＝521×7＝5714.角度2平面向量模的问题如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，AB→与AC→的夹角为60°，则|OA→|＝.132解析：AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cos60°＝1×3×12＝32，又AO→＝12(AB→＋AC→)，所以AO→2＝14(AB→＋AC→)2＝14(AB→2＋2AB→·AC→＋AC→2)，即AO→2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA→|＝132.【条件探究】将本典例中条件变为在△ABC中，若A＝120°，AB→·AC→＝－1，则|BC→|的最小值是多少？解：因为AB→·AC→＝－1，所以|AB→|·|AC→|·cos120°＝－1，即|AB→|·|AC→|＝2，所以|BC→|2＝|AC→－AB→|2＝AC→2－2AB→·AC→＋AB→2≥2|AB→|·|AC→|－2AB→·AC→＝6，当且仅当|AB→|＝|AC→|时等号成立，所以|BC→|min＝6.角度3平面向量的垂直问题(1)(2019·湘中名校联考)已知向量a＝(x，3)，b＝(x，－3)，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝()A．1B.2C.3D．2D解析：因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即(3x，3)·(x，－3)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，所以a＝(±1，3)，|a|＝±12＋32＝2.(2)如图所示，等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F分别是BC，AB上的点，且满足BEBC＝AFAB＝λ，当AE→·DF→＝0时，则λ的值为.7－334解析：由AB＝4，BC＝CD＝2，可得〈AD→，BC→〉＝60°，则AB→·AD→＝4×2×12＝4，AB→·BC→＝4×2×－12＝－4，AD→·BC→＝2×2×12＝2.∵BEBC＝AFAB＝λ，∴BE→＝λBC→，AF→＝λAB→，则AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋λBC→，DF→＝AF→－AD→＝λAB→－AD→，∴AE→·DF→＝(AB→＋λBC→)·(λAB→－AD→)＝λ|AB→|2－AB→·AD→＋λ2AB→·BC→－λAD→·BC→＝0，即16λ－4－4λ2－2λ＝0，∴2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍)或λ＝7－334.1.求向量夹角问题的方法(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.提醒：〈a，b〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝x2＋y2.②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．3．平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．(1)若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.π4B.π2C.3π4D．πA解析：设a与b的夹角为θ，因为|a|＝223|b|，(a－b)⊥(3a＋2b)，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b＝83|b|2－2|b|2－223|b|2cosθ＝0，解得cosθ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为.5解析：以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x(0≤x≤a)，∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)．PA→＝(2，－x)，PB→＝(1，a－x)，∴PA→＋3PB→＝(5,3a－4x)，|PA→＋3PB→|2＝25＋(3a－4x)2≥25，当x＝3a4时取等号．∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.考点三向量数量积的综合应用(1)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心C解析：由原等式，得OP→－OA→＝λ(AB→＋AC→)，即AP→＝λ(AB→＋AC→)，根据平行四边形法则，知AB→＋AC→是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD→的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．(2)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为()A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3C解析：由m⊥n得m·n＝0，即3cosA－sinA＝0，即2cosA＋π6＝0，因为π6＜A＋π6＜7π6，所以A＋π6＝π2，即A＝π3.又acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RsinBcosA＝2Rsin(A＋B)＝2RsinC＝c(R为△ABC外接圆半径)，且acosB＋bcosA＝csinC，c＝csinC，所以sinC＝1，又C∈(0，π)，所以C＝π2，所以B＝π－π3－π2＝π6.(3)若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为.6解析：由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则有x204＋y203＝1，解得y20＝31－x204，因为FP→＝(x0＋1，y0)，OP→＝(x0，y0)，所以OP→·FP→＝x0(x0＋1)＋y20＝x20＋x0＋31－x204＝x204＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，OP→·FP→取得最大值224＋2＋3＝6.【条件探究1】本典例(1)中，若动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的．内心解析：由条件，得OP→－OA→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，即AP→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，而AB→|AB→|和AC→|AC→|分别表示平行