高等数学全微分方程ppt课件

一阶微分方程第二节一、可分离变量方程二、齐次型微分方程三、可化为齐次型的微分方程四、一阶线性微分方程五、全微分方程第十二章1判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为u(x,y)=C.五、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称0d),(d),(yyxQxyxP为全微分方程(又叫做恰当方程).①2),(yxyxo例1.求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解:因为yP236yyx,xQ故这是全微分方程.,0,000yx取则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为Cyyxyxx332253123)0,(x3例2.求解解:21xyP∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为0ddd2xxyyxxx即,0d21d2xyx故原方程的通解为021d2xyx或Cxyx221,xQ4积分因子法思考:如何解方程这不是一个全微分方程,,12x就化成例2的方程.,0),(yx使为全微分方程,),(yx则称在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘若存在连续可微函数积分因子.5常用微分倒推公式:)(ddd)1yxyx)(ddd)2xyyxyx)(ddd)3yyxx)(2221yx)(ddd)42yyxxyyx)(ddd)52xyxxyxy)(ddd)6yxyxxyyxln)(ddd)722yxyxxyyxarctan)(ddd)822yxyyxx22yx积分因子不一定唯一.0ddyxxy例如,对可取6例3.求解解:分项组合得)dd(yxxy即0)dd()(d22yyxxyxyx选择积分因子,),(221yxyx同乘方程两边,得0dd)()d(2yyxxyxyx即0)lnd()lnd(1dyxyx因此通解为,lnln1Cyxyx即yxeCyx1因x=0也是方程的解,故C为任意常数.0)dd(yxxyyx7练习题解方程解法1积分因子法.原方程变形为取积分因子21y故通解为此外,y=0也是方程的解.8解法2化为齐次方程.原方程变形为积分得将xyu代入,得通解此外,y=0也是方程的解.9解法3化为线性方程.原方程变形为其通解为yxxPed)(CxexQxxPd)(d)(即此外,y=0也是方程的解.10