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《第4章相似图形》一、试试你的身手（每小题3分，共30分）1．（3分）（2005•漳州）在比例尺为1：500000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为_________千米．2．（3分）若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d=_________．3．（3分）已知4x﹣5y=0，（x+y）：（x﹣y）=_________．4．（3分）两个相似三角形面积比是9：25，其中一个三角形的周长为36cm，则另一个三角形的周长是_________．5．（3分）把一个菱形的各边都扩大到4倍，则其对角线扩大到_________倍，其面积扩大到_________倍．6．（3分）（2011•红桥区一模）厨房角柜的台面是三角形（如图所示），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是_________．7．（3分）（2005•嘉兴）顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=_________．8．（3分）（2005•襄阳）同一时刻，高为1.5m标杆影长为2.5m，一古塔在地面的影长为50m，那么古塔的高为_________m．9．（3分）（2013•婺城区二模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AE=3，BD=4，则AC=_________．10．（3分）（2009•长宁区一模）如图所示，在△ABC与△DBE中，=，且△ABC和△BDE周长之差为10cm，则△ABC的周长为_________cm．二、相信你的选择（每小题3分，共30分）11．（3分）（2005•上海）在下列命题中，真命题是（）A．两个钝角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似D．两个等边三角形一定相似12．（3分）（2005•盐城）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，∠ADE=30°，∠C=120°，则∠A等于（）A．60°B．45°C．30°D．20°13．（3分）（2005•连云港）如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（）A．都扩大为原来的5倍B．都扩大为原来的10倍C．都扩大为原来的25倍D．都与原来相等14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，交AB于点D，若AD=1，BD=4，则CD等于（）A．2B．4C．D．315．（3分）（2005•宜昌）如图所示，BC=6，E、F分别是线段AB和线段AC的中点，那么线段EF的长是（）A．6B．5C．4.5D．316．（3分）如图，点E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，AE和CD交于点G，AC是▱ABCD的对角线，则图中相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对17．（3分）（2012•淮滨县模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．18．（3分）（2004•苏州）如图，梯形ABCD的对角线交于点O，有以下四个结论：①△AOB∽△COD，②△AOD∽△ACB，③S△DOC：S△AOD=DC：AB，④S△AOD=S△BOC，其中始终正确的有（）个．A．1B．2C．3D．419．（3分）（2004•黑龙江）用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（）A．原图形的外部B．原图形的内部C．原图形的边上D．任意位置20．（3分）（2004•金华）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（）A．6cmB．8cmC．10cmD．1cm三、挑战你的选择（本大题共60分）21．（8分）（2005•杭州）我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．22．（8分）（2006•巴中）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED．若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，求AB的长．23．（8分）如图，已知△ABC中，点F是BC的中点，DE∥BC，则DG和GE有怎样的关系？请你说明理由．24．（8分）（2005•恩施州）某中学平整的操场上有一根旗杆（如图），一数学兴趣小组欲测量其高度，现有测量工具（皮尺、测角器、标杆）可供选用，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案．要求：（1）画出你设计的测量平面图；（2）简述测量方法，并写出测量的数据（长度用a、b、c…表示；角度用α、β…表示）；（3）根据你测量的数据，计算旗杆的高度．25．（14分）（2007•临夏州）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．（14分）（2005•济南）如图，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A⇒B⇒C的路线以3m/s的速度跑向C地．当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶．当张华跑到距B地2m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上．此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上．（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米？（DE的长）（2）求张华追赶王刚的速度是多少？（精确到0.1m/s）一、试试你的身手（每小题3分，共30分）1．（3分）（2005•漳州）在比例尺为1：500000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为230千米．分析：根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得实际距离．解答：解：设福州到漳州实际距离约为x，则=，解得x=23000000厘米=230千米．∴福州到漳州实际距离约为230千米．2．（3分）若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d=cm．解答：解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴a：b=c：d，∴d=7×4÷5=（cm）．故答案为cm．3．（3分）已知4x﹣5y=0，（x+y）：（x﹣y）=9．解答：解：∵4x﹣5y=0，∴=，令x=5k，则y=4k，∴（x+y）：（x﹣y）=（5k+4k）：（5k﹣4k）=9．故答案为9．4．（3分）两个相似三角形面积比是9：25，其中一个三角形的周长为36cm，则另一个三角形的周长是60或．解答：解：∵两个相似三角形面积比是9：25，∴它们的相似比为：3：5，∴它们的周长比为：3：5，∵一个三角形的周长为36cm，∴若此三角形为大三角形，则另一个三角形的周长是：，若此三角形为小三角形，则另一个三角形的周长是：60．∴另一个三角形的周长是60或．故答案为：60或．5．（3分）把一个菱形的各边都扩大到4倍，则其对角线扩大到原来的4倍，其面积扩大到原来的16倍．解答：解：把一个菱形的各边都扩大4倍，则新菱形和原来的菱形相似且相似比为4：1，则其对角线扩大到原来的4倍，其面积扩大到原来的16倍．故答案为：原来的4，原来的16．6．（3分）（2011•红桥区一模）厨房角柜的台面是三角形（如图所示），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是1：3．解答：解：∵各边中点连线所围成的三角形为黑色区域，∴黑色区域三角形与台面三角形相似且相似比=黑色区域三角形：台面三角形=1：2；故黑色区域面积：台面三角形面积=1：4；故黑色大理石面积与白色大理石的面积之比为1：3．7．（3分）（2005•嘉兴）顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=．解答：解：∵△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，AB=1∴AB=AC，AD=BD=BC，DE=BE=CD，DE∥AB∴设DE=x，则CD=BE=x，AD=BC=1﹣x，∴EC=BC﹣BE=1﹣x﹣x=1﹣2x∴解得：DE=．8．（3分）（2005•襄阳）同一时刻，高为1.5m标杆影长为2.5m，一古塔在地面的影长为50m，那么古塔的高为30m．解答：解：设古塔的高度为xm，∵=，即，解得，x=30米．即古塔的高度为30米．9．（3分）（2013•婺城区二模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AE=3，BD=4，则AC=9．解答：解：∵DE∥BC，∴，∵AD=2，AE=3，BD=4，∴，∴CE=6，∴AC=AE+EC=3+6=9．故答案为：9．10．（3分）（2009•长宁区一模）如图所示，在△ABC与△DBE中，=，且△ABC和△BDE周长之差为10cm，则△ABC的周长为25cm．答：解：在△ABC与△DBE中，=，则△ABC∽△DBE，并且相似比是5：3，相似三角形周长的比等于相似比，因而可以设△ABC的周长是5a，则△DBE的周长是3a，根据△ABC和△BDE周长之差为10cm，得到5a﹣3a=10解得：a=5，∴△ABC的周长为25cm．二、相信你的选择（每小题3分，共30分）11．（3分）（2005•上海）在下列命题中，真命题是（）A．两个钝角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似D．两个等边三角形一定相似解答：解：A不正确，不符合相似三角形的判定方法；B不正确，没有指明相等的角或边比例，故不正确；C不正确，没有指明另一个锐角相等或边成比例，故不正确；D正确，三个角均相等，能通过有两个角相等的三角形相似来判定；故选D．12．（3分）（2005•盐城）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，∠ADE=30°，∠C=120°，则∠A等于（）A．60°B．45°C．30°D．20°解答：解：∵DE∥BC，∠ADE=30°，∴∠B=∠ADE=30°，在△ABC中，∠C=120°，∠B=30°，∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣120°﹣30°=30°，故选C．13．（3分）（2005•连云港）如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（）A．都扩大为原来的5倍B．都扩大为原来的10倍C．都扩大为原来的25倍D．都与原来相等解答：解：∵所得的三角形与原三角形相似∴三角形的每个角都与原来相等故选D．14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，交AB于点D，若AD=1，BD=4，则CD等于（）A．2B．4C．D．3解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠A=∠BCD．∴tanA==tan∠BCD=，∴CD2=AD•BD=4，∴CD=2．故选A．15．（3分）（2005•宜昌）如图所示，BC=6，E、F分别是线段AB和线段AC的中点，那么线段EF的长是（）A．6B．5C．4.5D．3解答：解：∵BC=6，E、F分别是线段AB和线段AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=×6=3，故选D．16．（3分）如图，点E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，AE和CD交于点G，AC是▱ABCD的对角线，则图中相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对解答：解：∵AD∥BC，∴△ADG∽△ECG①，又∵AB∥CD，∴△ECG∽△EBA②，∴△ADG∽△EBA③，由平行四边形的性质可得：△ABC∽△CDA④；所以共有四对相似三角形．故选C．17．（3分）（2012•淮滨县模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．解答：解：如图：AB==，AC==，BC=2，A、∵DE==，DF==，EF=1，∴，∴△DEF∽△BAC，故A选