2016年名校数学分析考研试题解析

2016年名校数学分析考研试题解析浪花一点点尽管选择的是一些名校数学分析专业课的考研试题，但也是考研数学的内容，考研党完全可以参阅。1(南京航空航天大学2016考研试题)计算积分20sinlnxdx分析：因为0x时，lnsinx，因此0是瑕点。xxxxxxxxxxxxxxxsincos2lim21sincoslimsinlnlimsinlnlim02302100=0，所以反常积分20sinlnxdx收敛。同理可证明积分20coslnxdx收敛。设t=x2，则有20sinlnxdx=20coslnxdx=I2I=20sinlnxdx+20coslnxdx=20)coslnsin(lndxxx=20)2sin21ln(dxx=20202ln2sinlndxxdx=2ln2sinln210tdt=2ln2)sinlnsinln(21220tdttdt=2ln2sinln20tdt=I2ln2于是，2I=I2ln2，得I=2ln2所以，20sinlnxdx=2ln2点评：求含有三角函数的积分，常用类似这样t=x2的变换，有时题中会有多次这样的变换。2(中山大学2016年考研试题)求第一类曲线积分zdS，其中是球面4222zyx被平面z=1截出的顶部。分析：球面4222zyx被平面z=1截出的顶部看作z0的部分，则224yxz，那么224yxxzx，224yxyzy，2222421yxzzyx所以，zdS=dxdyzzzxyDyx221(投影到xoy平面)=xyxyDDdxdydxdyyxyx24242222=6(投影到xoy平面方程为322yx，面积为3)点评：求第一类曲面积分首先考虑投影到哪个平面，然后是投影的方程是什么，这是最重要的地方。3(宁波大学2016考研试题)计算I=Sdxdyzydzdx)1(，其中S为圆柱面422yx被平面x+z=2和z=0所截部分的外侧。分析：此题用合一投影不好办。因为S的方程为422yx，不是类似z=z(x,y)的连续函数，难以求出S所在侧的法向量}1,,{yxzzn。用分面投影，因圆柱面422yx在XOY平面的投影为一条线（准确地说，是一圆圈），因此，Sdxdyz)1(=0（一般地，若在某平面上的投影为一条线或一个点，那么第二类曲面在此平面的积分值为0.）余下的只需要计算Sydzdx的值了。而y为圆柱面422yx关于平面XOZ对称的奇函数，因此，Sydzdx=2前Sydzdx前S是指圆柱面422yx在y0的部分，即y=24x。（此处有必要提醒第二类曲面积分的对称性：它的规律与二重积分和三重积分的奇函数的规律刚好相反。）因此，I=Sydzdx=2前Sydzdx=2前Sdzdxx24=前Sdzdxx242现在该是确定x、z的取值范围了，见下图。yx+z=2-22x一般来说,第二类曲面积分的立体图画起来麻烦,有的题目立体图根本就不好画，甚至不会画。其实这都不要紧，要紧的是会画出在某一平面的投影，如本例。接着做，I=前Sdzdxx242=xdzdxx2022242=84(华南理工大学2016考研试题)计算极限nnnnnnn)12()2)(1(1lim分析：首先两边取对数，设y=nnnnnn)12()2)(1(1则，lny=nnninnninnniniln)ln(1ln)ln(11010=10)1ln(1ninin因此，yxlnlim=10)1ln(1limnixnin=10)1ln(dxx=dxxxxx10101)1ln(=12ln2注：要领悟定积分的定义，一般划分为n个区间。此题是把[0，1]划分为n个区间，每个区间长n1，既可把每个区间右端点作为x值，也可把左端点作为x值。此题是把每个区间左端点作为x值，左端点为0、n1nn1、、。5(武汉科技大学2016年考研试题)设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1，证明对任意的正数a、b，在(0,1)中必存在不相等的两个数21xx、，使得baxfbxfa)()(21分析：此题大方向应是应用拉格朗日中值定理，因要证明存在不相等的两个数21xx、，得用两次中值定理。可考虑把要证的baxfbxfa)()(21改写为1)()(21xfbabxfbaa观察分子的两个式子1babbaa，能不能从这儿打开缺口，做点文章？因10baa(a、b都为正数)，而已知f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0,f(1)=1，因此，由连续函数的介值定理可知，必存在(0,1)，使得f()=baa由中值定理得f())()0(1xff，即)(1xfbaa),0(1x)()1()()1(2xfff，即1)(2xfbab)1(2，x因此，)1()()(21xfbabxfbaa=1也就是证明了对任意的正数a、b，在(0,1)中必存在不相等的两个数21xx、，使得baxfbxfa)()(21注：此题关键是应用连续函数的介值定理得出f()=baa