数列的函数特性最新版

课前探究学习课堂讲练互动理解数列的函数特性．掌握三种特殊数列．1.2数列的函数特性【课标要求】【核心扫描】会根据数列的分类判断数列的单调性．(重点)会用函数的相关知识解决数列的最大(小)项等问题．(难点)1．2．1．2．课前探究学习课堂讲练互动数列与函数数列可以看作是一个定义域为_________________________________________的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．自学导引1．正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})课前探究学习课堂讲练互动数列的单调性名称定义表达式递增数列从第二项起，每一项都_____它前面的一项an＋1an递减数列从第二项起，每一项都_____它前面的一项an＋1an常数列各项都_____an＋1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前1项，有些项小于它的前1项的数列大于小于相等2．课前探究学习课堂讲练互动想一想：如何利用数列的单调性求数列的最大项和最小项？提示数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性加以解决，若求最大项an，则an应满足an≥an＋1，an≥an－1若求最小项an，则an应满足an≤an＋1，an≤an－1.另外一种方法就是将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件．课前探究学习课堂讲练互动数列与函数(1)数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，那么我们就可以得到一个数列：f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)….名师点睛(2)数列与函数：数列推广，自变量任意化自变量特殊化，定义域N＋或{1，2，3，…，n}.函数1．课前探究学习课堂讲练互动即数列是一种特殊的函数．(3)任一数列都是函数，但任一函数并不都是数列．数列的图像是一系列孤立的点，而函数的图像一般是连续的，不间断的．数列单调性的判定方法(1)作差比较法①若an＋1－an0恒成立，则数列{an}是递增数列；②若an＋1－an0恒成立，则数列{an}是递减数列；③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．2．(2)作商比较法①若an0，则当an＋1an1时，数列{an}是递增数列；课前探究学习课堂讲练互动(3)函数法：将通项公式转化为函数的形式，通过判断函数的单调性来确定数列的单调性．当an＋1an1时，数列{an}是递减数列；②若an0，则当an＋1an1时，数列{an}是递增数列；当an＋1an1时，数列{an}是递减数列．③若an≠0，当an＋1an＝1时，数列{an}是常数列．课前探究学习课堂讲练互动题型一数列的图像在数列{an}中，an＝n2－8n，(1)画出{an}的图像；(2)根据图像写出数列{an}的增减性．[思路探索](1)当n∈N＋时，分别在平面直角坐标系中描出点(n，an)即可．(2)图像的上升或下降显示数列的增减性．解(1)列表【例1】n123456789…an－7－12－15－16－15－12－709…课前探究学习课堂讲练互动描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…图像如图所示．(2)数列{an}的图像既不是上升的，也不是下降的，则{an}既不是递增的，也不是递减的．课前探究学习课堂讲练互动规律方法数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．课前探究学习课堂讲练互动画出下列数列的图像，并判断数列的增减性．(1)2,4,6,8,10，…；(2)an＝－2n＋5.解(1)数列2,4,6,8,10，…的图像如图(1)所示．由图像知它是递增数列．【训练1】(2)由通项公式an＝－2n＋5，写出数列的前5项3,1，－1，－3，－5，描点可得数列{an}的图像如图(2)所示．由图像知它是递减数列．课前探究学习课堂讲练互动[思路探索]由题目可获取以下主要信息：已知数列的通项公式，作出数列增减性的判断．解答本题可用定义求解，也可用函数知识求解．【例2】题型二判断数列的增减性判断数列n3n＋1的增减性．解∵an＝n3n＋1，∴an＋1＝n＋13n＋1＋1＝n＋13n＋4.法一an＋1－an＝n＋13n＋4－n3n＋1＝n＋13n＋1－n3n＋43n＋43n＋1＝13n＋43n＋1，课前探究学习课堂讲练互动∵n∈N＋，∴an＋1－an0，即an＋1an，∴数列n3n＋1为递增数列．法二∵n∈N＋，∴an0.∵an＋1an＝n＋13n＋4n3n＋1＝n＋13n＋13n＋4n＝3n2＋4n＋13n2＋4n＝1＋13n2＋4n1，∴an＋1an，∴数列n3n＋1为递增数列．课前探究学习课堂讲练互动规律方法判断数列增减性的方法主要有三种：①作差比较法；②作商比较法；③函数单调性法．法三令f(x)＝x3x＋1(x≥1)，则f(x)＝133x＋1－13x＋1＝131－13x＋1，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴数列n3n＋1是递增数列．课前探究学习课堂讲练互动(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？(2)该数列中有负数项吗？【训练2】已知数列{an}的通项公式是an＝1n2＋5n＋4.课前探究学习课堂讲练互动解(1)对任意n∈N＋，∵an＋1－an＝1n＋12＋5n＋1＋4－1n2＋5n＋4＝－2n＋3[n＋12＋5n＋1＋4]n2＋5n＋40，∴数列{an}是递减数列．(2)令an0，即1n2＋5n＋40，∴n2＋5n＋40⇒(n＋4)(n＋1)0⇒－4n－1.而n∈N＋，故数列{an}没有负数项．课前探究学习课堂讲练互动审题指导一个数列是递增数列其首项是这列数的最小值；一个数列是递减数列其首项是这列数的最大值．此外，数列的单调性有时与函数的性质结合起来．此时应注意数列函数的定义域．【例3】题型三数列中的最大(小)项问题(本题满分12分)已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)1011n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．课前探究学习课堂讲练互动[规范解答]法一∵an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n＝1011n·9－n11(4分)当n9时，an＋1－an0，即an＋1an；(6分)当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；(8分)当n9时，an＋1－an0，即an＋1an，(10分)故a1a2a3…a9＝a10a11a12…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，课前探究学习课堂讲练互动即a9＝a10＝1010119.(12分)法二令anan－1≥1(n≥2)，即n＋11011nn·1011n－1≥1，整理得n＋1n≥1110.(4分)解得n≤10，n＝10时取等号．(6分)令anan＋1≥1，即n＋11011nn＋21011n＋1≥1，整理得n＋1n＋2≥1011.(8分)课前探究学习课堂讲练互动解得n≥9，n＝9时取等号．(10分)∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减．∴数列{an}有最大项，最大项为第9、10项，即a9＝a10＝1010119.(12分)【题后反思】已知数列的通项公式求数列的最大(小)项，其实质是求函数的最大(小)值，但要注意函数的定义域，本题我们可以利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．课前探究学习课堂讲练互动【训练3】若数列{an}的通项公式an＝5×252n－2－4×25n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y等于()．A．3B．4C．5D．6解析an＝5·252n－2－4·25n－1＝525n－12－425n－1，设t＝25n－1，∵n≥1，∴n－1≥0，∴0＜t≤1.∴an＝f(t)＝5t2－4t＝5t－252－45.故当t＝25时，an取得最小值－45，此时n＝2；当t＝1时，an取得最大值1.此时，n＝1，∴x＝1，y＝2，x＋y＝3，应选A.答案A课前探究学习课堂讲练互动误区警示混淆函数与数列的单调性而致错已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实数λ的最小值是________．[错解]∵an≤an＋1，∴{an}单增，又an为n的二次式，∴－λ2≤1，解之λ≥－2，∴填－2.二次函数的相关知识迁移到数列方面时，要注意定义域发生了变化，类似的还有：an＝3n2－4n＋5(n∈N＋)，当n＝43时an取最小值，这种错解忽视了n∈N＋.应为n＝1时，an最小．【示例】课前探究学习课堂讲练互动[正解一]an≤an＋1⇔n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)⇔λ≥－(2n＋1)，n∈N＋⇔λ≥－3.[正解二]∵an≤an＋1，∴{an}不减，又an为n的二次式，并注意到a1≤a2，∴－λ2≤32，解之，得λ≥－3，∴填－3.答案－3课前探究学习课堂讲练互动函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数．故对于数列的单调性的判断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1an，则数列为递增数列，若an＋1an，则数列为递减数列．现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐，可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆