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│相似三角形及其应用·江苏科技版│考点聚焦考点聚焦·江苏科技版考点1线段的比如果选用同一长度单位的两条线段a、b的长度分别是m、n，那么就说明这两条线段的比是a∶b＝m∶n或ab＝mn，在两条线段的比a∶b中，a叫做前项，b叫后项．[注意](1)求线段的比是对两条线段而言；(2)两条线段的长度单位必须统一，但与采用的单位无关；(3)其比值是一个不带单位的正数；(4)线段的比在生活中有着广泛的应用，如用影长求物体的高；地图上的比例尺也是线段的比，是图上距离与实际距离的比．│考点聚焦·江苏科技版对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．[注意]求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度．ab＝cd考点2成比例线段│考点聚焦·江苏科技版考点3比例的性质1．基本性质：如果a∶b＝c∶d，那么________，反之也成立．2．合比性质：如果ab＝cd，那么a±bb＝________.ad＝bcc±dd│考点聚焦·江苏科技版考点4黄金分割在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果________________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________≈________.[注意]一条线段的黄金分割点有________个．ACAB＝BCAC5－120.618两│考点聚焦·江苏科技版考点5相似形及相似三角形1．相似多边形：各对应角________，各对应边__________的两个边数相同的多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做________．2．相似三角形：对应角________，对应边________的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫________，通常用字母k表示；全等三角形是相似比为________的特殊的相似三角形．相等成比例相似比相等成比例相似比1│考点聚焦·江苏科技版考点6相似三角形的性质1．相似三角形的对应角________，对应边________．2．相似三角形的周长比等于________．3．相似三角形的面积比等于相似比的________．[点拨]相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比．相等成比例相似比平方│考点聚焦·江苏科技版考点7相似三角形的判定方法1．对应角相等，对应边成比例的三角形相似．2．如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.3．如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边分别和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．[注意]平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．│考点聚焦·江苏科技版考点8位似图形的概念及其性质1．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点做_____________，这时的相似比又称为________.2．位似图形上各对对应点到位似中心的距离之比等于________；对应线段互相________；[注意](1)位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形．位似中心位似比位似比平行│考点聚焦·江苏科技版(2)位似变换是一种特殊的相似变换，构成位似变换的两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于一点，对应边互相平行，在中考中要求学生会利用位似变换将一个图形放大或缩小以及掌握在平面直角坐标系下位似变换图形的坐标特点．│考点聚焦·江苏科技版考点9利用相似三角形解决实际问题相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用(如利用相似测量旗杆的高度)，这一应用是建立在数学建模和数形结合思想的基础上，把实际问题转化为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．·江苏科技版归类示例│归类示例►类型之一比例线段命题角度：1．比例线段2．黄金分割在实际生活中的应用例1[2011·六盘水]从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.80cm，下身长约93.00cm，她要穿约________cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果(精确到0.01cm)．7.00[解析]根据题意，得上身长：(下身长＋高跟鞋的高度)≈0.618，再把上身长和下身长代入，可求出高跟鞋的高度约是7.00cm.·江苏科技版►类型之二相似三角形的性质及其应用命题角度：1．利用相似三角形性质求角的度数2．利用相似三角形性质求或证明比值关系例2[2011·怀化]如图23－1，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M.(1)求证：AMAD＝HGBC；(2)求这个矩形EFGH的周长．图23－1·江苏科技版[解析](1)证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论．(2)设HE＝x，则HG＝2x，利用第一问中的结论求解．解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴∠AHG＝∠ABC.又∵∠HAG＝∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴AMAD＝HGBC.(2)由(1)得AMAD＝HGBC.设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x，可得30－x30＝2x40，解得x＝12,2x＝24.所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．·江苏科技版(1)利用相似三角形对应高的比等于相似比进行线段间的转化；(2)实际上相似三角形对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比．·江苏科技版►类型之三三角形相似的判定方法及其应用命题角度：1．利用两个角判定三角形相似2．利用两边及夹角判定三角形相似3．利用三边判定三角形相似例3[2010·滨州]如图23－2，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.(1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线)；(2)请分别说明两对三角形相似的理由．图23－2·江苏科技版[解析](1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.(2)利用∠BAC＝∠DAE和∠ABC＝∠ADE证△ABC∽△ADE；由△ABC∽△ADE得ABAD＝ACAE，可证△ABD∽△ACE.解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.(2)①证△ABC∽△ADE.∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE；·江苏科技版②证△ABD∽△ACE.∵△ABC∽△ADE，∴ABAD＝ACAE.又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．·江苏科技版►类型之四位似命题角度：1．位似图形及位似中心定义2．位似图形的性质应用3．利用位似变换在网格纸里作图·江苏科技版例4[2011·河北]如图23－3，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点．(1)以点O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号)．图23－3·江苏科技版解：(1)如下图：(2)四边形AA′C′C的周长＝4＋62.利用位似将图形放大或缩小的作图步骤：第一步：在原图上选取关键点若干个，并在原图外任取一点P；第二步：以点P为端点向各关键点作射线；第三步：分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点，即可得到符合要求的新图形．·江苏科技版►类型之五利用相似三角形解决实际问题命题角度：1．相似三角形的综合应用2．把实物图转化为几何问题例5如图23－4，一个人拿着一把刻有厘米刻度的小尺，站在离电线杆约20m的地方，他把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长约40cm，你能根据以上数据求出电线杆的高度吗？图23－4·江苏科技版解：根据题意，得△AOB∽△DOC，所以CD∶AB＝20∶0.4，即CD∶0.12＝20∶0.4，解得CD＝6，故电线杆的高度为6m.证明等积式的常用方法是把等积式转化为比例式，要证明比例式，就要证明三角形相似．证明圆相似要充分运用切线性质，圆周角定理及推论，垂径定理等.