2012年中考数学复习方案(苏科版)第7课时-一元二次方程及其应用

│一元二次方程及其应用·江苏科技版│考点聚焦考点聚焦·江苏科技版考点1一元二次方程的概念及一般形式1．一元二次方程：只含有____个未知数，并且未知数最高次数是________的整式方程．2．一般形式：______________________.3．一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．[注意]在一元二次方程的一般形式中要注意强调a≠0.一2ax2＋bx＋c＝0(a≠0)│考点聚焦·江苏科技版考点2一元二次方程的四种解法1．直接开平方法：它适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程．2．因式分解法：它是最常用的方法．主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式进行因式分解．3．公式法：它是一种“万能”的公式，一定要先把方程整理成一般形式．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且b2－4ac≥0在因式分解不能奏效时，往往用公式法，使用公式法时，x1,2＝－b±b2－4ac2a.│考点聚焦·江苏科技版4．配方法：这是一种重要的数学方法，也是一种“万能”的方法，若没有特别的规定一般不用来解方程．配方法解方程的步骤：化二次项系数为1→把常数项移到方程的另一边→在方程两边同时加上一次项系数一半的平方→把方程整理成(x＋a)2＝b的形式→运用直接开平方法解方程．·江苏科技版考点3一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac.也把它记作Δ＝b2－4ac.(1)b2－4ac0⇔方程有____________的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程有____________的实数根；(3)b2－4ac0⇔方程________实数根；(4)b2－4ac≥0⇔方程有实数根．两个不相等两个相等没有·江苏科技版考点4列一元二次方程解应用题1．增长率中的等量关系(1)增长率＝增量÷基础量．(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时a(1－m)n＝b.2．利率中的等量关系(1)本息和＝本金＋利息．(2)利息＝本金×利率×期数．3．利润中的等量关系(1)毛利润＝售出价－进货价．(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用．(3)利润率＝利润÷进货价．│考点聚焦·江苏科技版[注意]列一元二次方程解应用题时应注意：(1)认真审题，看应用题是涉及什么问题，基本数量关系是什么．(2)善于从不同的类型问题中找出各量之间的等量关系，列出方程．(3)注意抓住题中的一些表达相等关系的语句来列方程．(4)必须对方程的解加以检验，看看它是否有实际意义．·江苏科技版│归类示例归类示例►类型之一一元二次方程的有关概念命题角度：1．一元二次方程的概念2．一元二次方程的一般式3．一元二次方程的解的概念例1[2011·嘉兴]一元二次方程的x(x－1)＝0的解是()A．x＝0B．x＝1C．x＝0或x＝1D．x＝0或x＝－1C[解析]原方程x(x－1)＝0，∴x＝0或x－1＝0，故本题的答案是x1＝0，x2＝1.│归类示例·江苏科技版例2[2011·济宁]已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为()A．－1B．0C．1D．2A[解析]把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a)＋a＝0，得a2－ab＋a＝0，即a－b＋1＝0，即a－b＝－1，故选择A.·江苏科技版►类型之二一元二次方程的解法命题角度：1．直接开平方法2．因式分解法3．公式法4．配方法例3[2011·绥化]一元二次方程a2－4a－7＝0的解为____________________________．a1＝2＋11，a2＝2－11·江苏科技版[解析]方法一公式法：∵a＝1，b＝－4，c＝－7，∴a＝－b±b2－4ac2a＝4±42＋282＝2±11.即a1＝2＋11，a2＝2－11.方法二配方法：移项，得：a2－4a＝7，方程两边同时加上4，得a2－4a＋4＝11，即(a－2)2＝11，∴a－2＝±11，即a1＝2＋11，a2＝2－11.·江苏科技版例4[2011·南京]解方程：x2－4x＋1＝0.解：方法一：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3，由此可得x－2＝±3，所以x1＝2＋3，x2＝2－3.方法二：a＝1，b＝－4，c＝1.因为b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝120，所以x＝4±122＝2±3.x1＝2＋3，x2＝2－3.·江苏科技版►类型之三一元二次方程根的判别式命题角度：1．判别一元二次方程根的情况2．求一元二次方程字母系数的取值范围例5[2011·娄底]如果方程x2＋2x＋a＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为________．1[解析]Δ＝b2－4ac＝0，即4－4a＝0，a＝1.·江苏科技版例6[2011·江津]已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A．a2B．a2C．a2且a≠1D．a－2C[解析]一元二次方程有两个不相等实数根的条件是Δ＝－22－4a－1×10，a－1≠0.解得a2且a≠1，故选择C.(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它与0的大小关系．因此，在计算前应先将方程化为一般式；(2)注意：二次项系数不为零．·江苏科技版►类型之四一元二次方程的应用命题角度：1．增长率＝增量÷基础量2．用一元二次方程解决变化率问题a(1±m)2＝b例7[2011·扬州]某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是________．25%[解析]设平均每月增长的百分率是x，根据题意，得160(1＋x)2＝250.解得x＝25%或x＝－225%(舍去)．所以平均每月增长的百分率是25%.·江苏科技版平均增长率问题的模型：知道4月份的利润为a万元，6月份的利润为b万元，从而求出每个月的增长率x，则有a(1＋x)2＝b.例8[2011·绵阳]王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．(1)请用a表示第三条边长；(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么？请说明理由，并求出a的取值范围；(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．│归类示例·江苏科技版解：(1)第一条边长为a，第二条边长为2a＋2，第三条边长为30－a－(2a＋2)＝28－3a.(2)不可以是7.理由：∵a＝7时，2a＋2＝16,28－3a＝7，即第一条边长为7，第二条边长为16，第三条边长为7.又∵7＋7＜16，不满足三边之间的关系，∴不能构成三角形．根据三角形的三边关系，得2a＋2－a＜28－3a＜2a＋2＋a.解得133＜a＜132.(3)能围成直角三角形形状，当28－3a是最长边时，a2＋(2a＋2)2＝(28－3a)2，解得a1＝5，a2＝39(不合题意，舍去)，∴三边边长分别是5,12,13.当2a＋2是最长边时，a2＋(28－3a)2＝(2a＋2)2，由于解不是整数，舍去．∴能围成直角三角形形状，三边边长分别为5,12,13.│归类示例·江苏科技版(1)由三角形三边不等关系列出不等式组，求出a的取值范围；(2)当最长边不确定时，要分类讨论；(3)由勾股定理列方程，解方程求出边长．·江苏科技版回归教材教材母题[江苏科技版九上P91练习第2题]k取什么值时，方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根？求这时方程的根．解∵方程有两个相等的实数根，∴(－k)2－4×1×4＝0，即k2＝16.解得k1＝4，k2＝－4.把k1＝4代入x2－kx＋4＝0，得x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2；把k2＝－4代入x2－kx＋4＝0，得x2＋4x＋4＝0，解得x1＝x2＝－2.·江苏科技版[点析](1)要判定某个一元二次方程是否有实数解或有几个实数解时，常用一元二次方程根的判别式去判定．(2)见到含有字母的一元二次方程时，在实数范围内首先应有Δ≥0；若字母在二次项系数中，则还应考虑二次项系数是否为0.·江苏科技版中考变式[2011·郴州]当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2＋tx＋2＝0有两个相等的实数根．[解析]根据一元二次方程根的情况得关于判别式的方程或不等式，求解即可．解：∵a＝2，b＝t，c＝2，b2－4ac＝t2－4×2×2＝t2－16，令t2－16＝0，解得t＝±4.∴当t＝4或t＝－4时，原方程有两个相等的实数根．一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式等于0.