第2讲-基本概念

车身CAD吴娜山东交通学院汽车工程学院2第3章车身曲线曲面的数学模型基础„了解参数曲线曲面的基本知识；„贝齐尔曲线曲面；„B样条曲线曲面；„具有一定实践体会和相关的编程能力。3主要讲授内容„CAGD发展与图形标准；„几何造型技术；„参数曲线和曲面；„Bezier曲线与曲面；„B样条曲线与曲面；„NURBS曲线与曲面；4CAGD发展(ComputerAidedGeomatricDesign)„1963，美国波音的弗格森昀早引入参数三次曲线，提出了将曲线曲面表示为参数的矢函数方法；„1964，美麻省理工的孔斯曲面（用四条封闭曲线定义）；„1964，舍恩伯格提出参数样条曲线曲面的形式；„1971，雷诺的贝齐尔曲线曲面，出色的解决了整体形状控制问题；（连接问题和局部修改问题）„1969，雪铁龙的德卡斯特里奥同样的算法；„1972，德布尔与考克斯独立昀早提出B样条方法；图形系统„CAGD系统包括：‡硬件：计算机主机、存储器‡图形I/O设备：数字化仪和图形输入板、扫描仪、数码相机、显示器、打印机、绘图仪等‡系统软件：UNIX、Windows、Linux等‡图形软件„图形软件：通用编程软件包，专用应用软件包。‡通用类：提供一个可用于高级程序语言的图形功能扩展集(比如，OpenGL).‡基本功能：图元生成，属性设置（颜色，材质….）选择观察及实施变换等。‡专用类：不关心图形操作过程（比如，CAD系统）。图形系统图形系统标准„图形标准：图形系统及其相关应用系统中各界面之间进行数据传送和通信的接口标准，以及供图形应用程序调用的子程序功能及其格式标准，前者称为数据及文件格式标准，后者称为子程序界面标准。„图形系统标准分类„面向图形设备的接口标准：计算机图形文件(CGM)，(CRT,Mouse,…)计算机图形接口(CGI).设备驱动程序图形系统标准„面向应用软件的标准：程序员层次交互式图形系统（PHIGS）,GL(图形程序包)（三维）图形核心系统（3D-)GKS„面向图形应用系统中工程和产品数据模型及其文件格式基本图形转换规范（IGES）产品数据转换规范（STEP）CGI（ISODP9636)--提供控制图形硬件的一种与设备无关的方法。--也可看作图形设备驱动程序的一种标准。--在用户程序和虚拟设备之间，以一种独立于设备的方式提供图形信息的描述和通信。CGM（ISOIS8632)--与设备无关的语义、词法定义的图形文件格式。--规定了生成、存储、传送图形信息的格式。--面向系统和系统开发者，和CGI配套提供。--通用性是其关键属性。GKS--提供了在应用程序和图形输入输出设备间的功能接口--与语言无关。--GKS提供了一个称为元文件的顺序文件接口--应用程序的所有图形资源由GKS控制(通过GKS元文件-GKSM)--GKSM用于:图形信息存档；系统传送图形信息；在GKS应用程序间传送图形信息；与图形信息相关的非图形信息存储和复用实现图形应用程序在源程序级地可移植性PHIGS（ISOIS9592）--向应用程序员提供的控制图形设备的图形系统接口；--图形数据按层次结构组织；--提供动态修改和绘制显示图形数据的手段。是一个高度动态化和交互式图形系统。GL--图形程序库，--UNIX下运行，--OpenGL—微机，--分类：基本图素；坐标变换；设置属性和显示方式；I/O处理；真实图形显示。IGES（基本图形转换规范）--InitialGraphicsExchangeSpecification--作用：不同的CAD/CAM系统之间交换数据。--文件格式是ASCII码，五节：开始节，目录入口(DE)，参数(DP)节，整体节和结束节。STEP（产品模型数据转换标准）--StandardfortheExchangeofProductmodelData.--覆盖产品整个生命周期--强调建立能存入数据库中一个产品模型的完整表示。--克服IGES中的问题和缺点。161.几何造型技术几何造型技术几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术。描述物体的三维模型有三种:„线框模型„曲面模型„实体模型。171.几何造型技术„„线框模型线框模型用顶点和棱边来表示物体。由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物体；不能明确地定义给定点与物体之间的关系（点在物体内部、外部或表面上）。181.几何造型技术191.几何造型技术„„表面模型表面模型用面的集合来表示物体，而用环来定义面的边界。„表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。„该模型只有一张张面的信息，物体究竟存在于表面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物体的整体性质。如表面积、体积、重心等。也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质，如是否相交等。201.几何造型技术211.几何造型技术„„实体模型实体模型能完整表示物体的所有形状信息，可以无歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上。是昀高级的模型。这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的要求。221.几何造型技术231.1几何造型技术发展历史„曲面造型：60年代，法国雷诺汽车公司、PierreBézier、汽车外形设计的UNISURF系统。„实体造型：1973英国剑桥大学CAD小组的Build系统、美国罗彻斯特大学的PADL-1系统等。„独立发展起来，又合二为一。„主流：基于线框、曲面、实体、特征统一表示的造型设计系统在工程上，曲线曲面的应用十分广泛。如根据实验、观测或数值计算获得的数据来绘制出一条光滑的曲线，以描述事物的各种规律。在汽车、飞机、船舶的等产品的外形设计中，要用到大量的曲线和曲面来描述其几何形状。1.1几何造型技术发展历史25显式或隐式表示存在下述问题：1）与坐标轴相关；2）对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表示；2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)；3)不便于计算机编程。1.2参数曲线和曲面„表示曲线和曲面的基本方法有两种：参数法和非参数法。¾非参数法显式表示:y=f（x）不能表示封闭或多值的曲线隐式表示:f（x，y）=0方程的根很难求26¾参数表示曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为：空间曲线上任一三维点P可表示为：[])(),()(tytxtP=[])(),(),()(tztytxtP=1.2参数曲线和曲面271.2参数曲线„参数表示例子：„直线昀简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为：„圆]1,0[,)()(121∈−+=ttPPPtP]1,0[12,11)(222∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−=ttttttP显式表示：„参数方程表示曲线、曲面的优越性表现在：（1）用参数表示的曲线形状本质与坐标系的选取无关,满足几何不变性的要求。（2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为：有8个系数可用来控制此曲线的形状。1.2参数曲线291.2参数曲线„参数表示的优点：（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。（4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。（5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。„参数表示的优点：（6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。1.2参数曲线311.2参数曲线—参数化„过三点P0、P1和P2构造参数表示的插值多项式可以有无数这是因为对应的参数t,在[0,1]区间中有无数种取法。即P1和P2可对应不同的参数值，比如，或„其中每个参数值称为节点(knot)。,1,21,0210===ttt01210,,1,3ttt===321.2参数曲线—参数化对于一条插值曲线，型值点型值点与其参数域内的节点之间有一种对应关系。对于一组有序的型值点，所确定一种参数分割，称之这组型值点的参数化。nPPP,,,10L],[0nttt∈331.2参数曲线—参数化„参数化常用方法有：„均匀参数化(等距参数化)„节点在参数轴上呈等距分布，+正常数。„累加弦长参数化这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参数化所出现的问题，使插值曲线具有较好的光顺性。iitt=+1⎩⎨⎧⋅⋅⋅=Δ+==−−niPtttiii,,2,1,0110iiiPPP−=Δ+1„矢量具有方向和大小的量.„矢函数对于自变量t的每一个数值都有变矢量a的确定量与之对应，则变矢量a称为变量t的矢函数。„矢函数求导（导矢）矢函数求导和数量函数的求导相同，设矢函数r(t)在区间[t1,t2]内连续，并设t0和t0+∆t都在该区域内，若极限存在，则r(t)在t0处可微，该极限称为r(t)在t0的导矢。导矢用于计算曲线的切矢、法矢、曲率、法平面等。ttrttrtΔ−Δ+→Δ)()(lim000351.2参数曲线„位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率曲线上任一点的位置矢量可表示为：P(t)=[x(t),y(t),z(t)]；„切向量(切矢量)曲线上R、Q两点，参数分别为t和t+∆t，矢量∆P=P(t+∆t)-P(t)，大小为弦长∆s.如果R处存在切线，当Q趋近于R时，即∆tÆ0时，导数矢量趋近于该点的切线方向。1.2参数曲线37„切向量(切矢量)„选择弧长s作为参数，则是单位切矢„根据弧长微分公式有：„于是有，即为单位矢量当曲线以弧长为参数时，其切矢为单位矢量。sPdsdPTsΔΔ==→Δ0lim()()()()2222dzdydxds++=()()()()2'2222)(////tPdtdzdtdydtdxdtds=++=0)('≥=tPdtds)()(''tPtPdsdtdtdPdsdP=⋅=1.2参数曲线„法矢量与平行的法矢称为曲线在该点的主法矢N矢量积是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢我们可以推导出：dsdTNTB×=)()()()(tPtPtPtPB′′×′′′×′=1.2参数曲线)())()(()())()((tPtPtPtPtPtPTBN′×′′×′′×′′×′=×=39„T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动标架„N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为密切面，B、T构成的平面称为从切面。„当参数连续变化时，活动标架就连续发生平移和旋转，，曲线在任一点处临近的几何行为或几何性质就可在该点处的活动标架内考察。1.2参数曲线密切面从切面法平面TBN主法线图3.1.2曲线的法矢„曲率设∆θ为切矢T(s)和T(s+∆s)间的夹角，曲线以弧长为参数时，其切矢为单位矢量，故所以sTsTdssdTsTssΔΔΔΔ=ΔΔ==′=→Δ→Δθθκ00limlim)()(1)()(=Δ+=sstst1之比的极限为与夹角θΔΔtssΔΔ=→Δθκ0lim称为曲率。Δ41曲率的几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。曲率k的倒数称为曲率半径。κρ1=1.2参数曲线)(ssTΔ+)(sTTΔOθΔ42„挠率挠率的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对于弧长的转动率.对于一般参数t，我们可以推导出曲率和挠率的计算公式如下：3)()()(tPtPtP′′′×′=κ2))()(())(),(),((tPtPtPtPtP′′×′′′′′′′=τ1.2参数曲线ssΔΔ=Δθτlim431.2参数曲线)(ssTΔ+)(sTTΔO图3.1.3曲率和挠率（a）（b）1N1B1T0N0B0T0B1BθΔθΔ441.2参数曲线---连续性曲线间连接的光滑度的度量有两种：函数的可微性可微性：组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，