第2讲一元一次方程讲义

成功在励志成才要得法liulaojiunianjigaoxiaodianbo1第2讲一元一次方程讲义一、基础知识精讲：（一）一元一次方程1、等式----含有“＝”的式子2、方程----含有未知数的等式3、一元一次方程----①只有一个未知数，②未知数的次数都是1的方程4、方程的解----使得方程左右两边相等的未知数的值5、检验：把未知数的值分别代入方程的左右两边。练习：检验下列各数是否是方程的解2x－3=5x-15(x＝6x＝4)6、等式的性质等式的性质①等式两边加(或减)同一个数(或式)，结果仍相等。即如果a＝b，那么a±c＝b±c等式的性质②等式两边乘同一个数，或除以同一不为0的数，结果仍相等。即如果a＝b，那么ac＝bc如果a＝b(c≠0)那么cbca7、根据下列条件列出方程（1)比x大2的数等于7（2)x比它的2倍小3（3)x比它的54大165（二）一元一次方程解法1、解一元一次方程的一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（三）一元一次方程的应用1、类型：1.和、差、倍、分问题：2.等积变形问题：3.劳力调配问题：4.比例分配问题：5.数字问题6.工程问题：7、行程问题8、利润问题9、储蓄问题2、列方程解应用题的一般步骤：①审题，弄清题意找出题中的等量关系②设未知数③列出方程④解方程⑤检验⑥答二、典型例题精讲：例1、解方程：（1）x－2x＋1.5＝3.5－5x（2）4(2x－1)－2＝5x－3(7＋2x)（3）2)24(21)52(3xx（4）823632xx成功在励志成才要得法liulaojiunianjigaoxiaodianbo2（5）63134xx（6）12733xxx例2、只列方程，不解方程1)3x＋5的值等于，求x的值2)当x取何值时，3x＋5与4－x的值相等3)当a为何值量，式子2(3a－4)的值比2a＋7的值大34)3x＋5与3－x互为相反数，x取何值例3、若2x3m-3+4m=0是关于x的一元一次方程，求m值及方程的解；例4、若3a4bn+2与5am-1b2n+3是同类项，求(m+n)(m-n)的值；例5、一元一次方程9大类方程应用题1.和、差、倍、分问题：（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。例1.根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数据，截止到2000年11月1日0时，全国每10万人中具有小学文化程度的人口为35701人，比1990年7月1日减少了3.66%，1990年6月底每10万人中约有多少人具有小学文化程度？分析：等量关系为：1366%9062000111.年月底有的人数年月日人数解：设1990年6月底每10万人中约有x人具有小学文化程度(.1366%)35701xx37057答：略.2.等积变形问题：“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。例2.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为1251252mm内高为81mm的成功在励志成才要得法liulaojiunianjigaoxiaodianbo3长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数314.）分析：等量关系为：圆柱形玻璃杯体积＝长方体铁盒的体积下降的高度就是倒出水的高度解：设玻璃杯中的水高下降xmm902125125812·xxx625625199答：略.3.劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。例3.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？分析：列表法。每人每天人数数量大齿轮16个x人16x小齿轮10个85x人1085x等量关系：小齿轮数量的2倍＝大齿轮数量的3倍解：设分别安排x名、85x名工人加工大、小齿轮31621085()[()]xx4817002068170025xxxx8560x人答：略.4.比例分配问题：这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系：各部分之和＝总量。例4.三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？解：设一份为x，则三个数分别为x，2x，4x分析：等量关系：三个数的和是84xxxx248412答：略.5.数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2N表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。成功在励志成才要得法liulaojiunianjigaoxiaodianbo4例5.一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数解：设十位上的数字X，则个位上的数是2x，10×2x+x=（10x+2x）+36解得x=4，2x=8.答：略.6.工程问题：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。例6.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？分析设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(115+112)×3+x12=1，解这个方程，15+14+x12=112+15+5x=605x=33∴x=335=635答：略.7.行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间。（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。例7.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。（1）分析：相遇问题，画图表示为：甲乙等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480解这个方程，230x=390∴x=11623答：略.分析：相背而行，画图表示为：600甲乙等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。解：设x小时后两车相距600公里，成功在励志成才要得法liulaojiunianjigaoxiaodianbo5由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120∴x=1223答：略.（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=60050x=120∴x=2.4答：略.分析：追及问题，画图表示为：甲乙等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。解：设x小时后快车追上慢车。由题意得，140x=90x+480解这个方程，50x=480∴x=9.6答：略.分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+48050x=570解得，x=11.4答：略.8.利润赢亏问题（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等（2）有关关系式：商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价商品利润率=商品利润/商品进价商品售价=商品标价×折扣率例8.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？分析：探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元进价折扣率标价优惠价利润x元8折（1+40%）x元80%（1+40%）x15元等量关系：（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15解：设进价为X元，80%X（1+40%）—X=15，X=125答：略.9.储蓄问题⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税⑵利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率（20%）例9.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）分析：等量关系：本息和=本金×（1+利率）解：设半年期的实际利率为x，250（1+x）=252.7，成功在励志成才要得法liulaojiunianjigaoxiaodianbo6x=0.0108所以年利率为0.0108×2=0.0216三、精典练习：（一）填空题1．x＝时，代数式532x与代数式332x的差为02．x＝3是方程4x－3（a－x）＝6x－7（a－x）的解,那么a＝；3．x＝9是方程bx231的解，那么b，当b1时，方程的解；4．若是2ab2c3x－1与－5ab2c6x＋3是同类项，则x＝；5．x＝43是方程|k|（x＋2）＝3x的解，那么k＝.（二）解方程(1))35(2)57(15xxx(2)612141xx（三）解下列应用问题1．有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为600x分．过完第二铁桥所需的时间为250600x分．依题意，可列出方程600x+560=250600x解方程x+50=2x-50得x=100∴2x-50=2×100-50=1502．有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5，这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？解：设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为2x克，那么红色和白色配料分别为3x克和5x克．根据题意，得2x+3x+5x=50解这个方程，得x=5于是2x=10，3x=15，5x=25答：这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是10克，15克和25克．3．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件．成功在励志成才要得法liulaojiunianjigaoxiaodianbo7解：设这一天有x名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）