第2讲一维傅里叶变换(复习)

1一维傅里叶变换（复习）定义，卷积与相关，傅里叶变换定理2三角函数的正交性•三角函数系的正交性指在一个周期区间上此函数系中任取两个不同函数的乘积在上的积分等于零，即,...sin,cos,...,2sin,2cos,sin,coskxkxxxxx,,,...)3,2,1,,(0coscos,...)3,2,1,,(0sinsin,...)3,2,1(0sin,...)3,2,1(0coslklklxdxkxlklklxdxkxkkxdxkkxdx3周期函数展开为傅里叶级数满足狄利克雷条件的周期为的函数可以展开为三角级数式中周期为时，又可以写成2)sincos(210kkkkxbkxaaxfkxdxxfbkxdxxfakksin1cos1)2sin2cos(21000nnnxnfbxnfaaxf01f4矩形波展开为傅里叶级数矩形波展开为傅里叶级数形式为,...,2,1,0,1,2,...,24,0,...,2,1,0,1,2,...,4nxnxAxgxfxfxfxfAAxg000072cos7152cos5132cos312cos225矩形波展开为傅里叶级数图解(1)矩形波6f1(t)4A/Otf2(t)AOt矩形波展开为傅里叶级数图解(2)7f3(t)AOtf4(t)AOt•矩形波的傅里叶分解与综合8傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式矩形波展开为傅里叶级数形式为xnfjencAxg022sin2,2,1,0,02necxgxnfjn9傅里叶级数的三角形式和指数形式之间关系•根据欧拉公式，三角形式的傅里叶级数可以写成•令•则有1220122220000000221221nxnfjnnxnfjnnnxnfjxnfjnxnfjxnfjnejbaejbaajeebeeaaxg2,2,200nnnnnnjbacjbacacxnfjnnxnfjnxnfjnecececcxg0002122010一维傅里叶变换定义当周期函数的周期逐渐增大，展开为傅里叶级数时的谱线间隔逐渐变小；直到周期增至无穷大，谱线间隔变至无穷小，可以看成连续的，也就产生非周期函数的傅里叶变换本书采用对称形式的傅里叶变换定义，即，函数的傅里叶变换为函数的傅里叶反变换为正反变换式前面都没有常系数dxxfxffFxxj2-expxfxfFxxxdfxffFxfπj2exp11广义傅里叶变换定义•对于函数一类的广义函数可以用广义的方法来定义，即如果函数可以看作是某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中的每一个函数进行变换，组成一个变换式的序列，该序列的极限就是原来函数的广义傅里叶变换•例：函数不符合傅里叶变换条件，傅里叶变换积分不收敛•但是有•矩形函数的傅里叶变换为1xgxrectxglim222exp2expdxxfjdxxfjxrectxgFfGxxx12广义傅里叶变换定义（续）•因此有•根据广义变换定义有：•即：•这是一个极其重要的（广义）傅里叶变换对，最基本也最常用xxxfffcxrectFsinsinxxffcxgFsinlimxfF113卷积和相关•卷积的定义：对于两个复值函数和，其卷积定义为•式中*表示卷积运算。•卷积的意义：卷积是一个广义积分，积分结果是一个函数，实际上对于函数的每一个自变量数值都要做一次广义积分•卷积的运算过程：折叠、位移、相乘、积分。1、积分中函数积分变量前加负号变为，意味着折叠，过去折叠曾经叫做折（摺）积2、对于每一个具体函数值，函数要位移3、两个函数相乘：点点相乘4、做广义积分)(xf)(xh)(*)()(xhxfdxhfxg)(xh)(h)(h)(hx14h()1/5590f()1/3460f()1/3460h(-)1/5-9-50xh(x-)x-9x-54609111315g(x)x02/151.用哑元画出函数f()和h();2.将h()折叠成h(-);3.将h(-)移位至给定的x,h[-(-x)]=h(x-);4.二者相乘;5.乘积函数曲线下面积的值即为g(x).步骤:卷积过程图示（1）15卷积过程图示（1）•原函数•折叠•位移16•相乘—得到被积函数17卷积过程的两个效应•展宽•平滑化：被积函数经过卷积运算，其微细结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏变得平缓圆滑。18卷积运算定理1、交换律2、分配律3、结合律这几个定律不难证明。xfxhxhxf*)(*xhxwxhxvxhxwxv**)(*xhxwxvxhxwxv**)(**19包含脉冲函数的卷积----函数的移位任意函数和脉冲函数的卷积：•根据函数（位于原点处）的篩选性质有•任意函数和位于处的脉冲函数的卷积得到•这个性质有助于对于重复的物理结构的描述，如光栅、双缝等dxfxxf)(*xfdxfxxf)(*000)(*xxfdxxfxxxf0x20卷积应用举例----透镜的非相干成象•高斯光学成象的物象关系是点与点对应，物和象相互共轭，完全相似的。•实际成象时由于象差存在，点物不会成点象，而是产生一个弥散开的区域，甚至最大值不在高斯光学成象的象点处•对于象点处的光能贡献不只来自高斯光学成象的物点处，而是来自其附近的无数个点•如果每个点的贡献只与该点与物点的距离有关，与具体象（高斯物点）的位置无关•象点处的总光能贡献为所有邻近点，乃至物面上所有点贡献的总和•表示成积分形式就是个卷积000dxxxhxfxf21相关运算•两个函数的互相关定义为：•与卷积的差别在于相关运算中后一个函数取复共轭，且不需要折叠，不满足交换律。互相关运算是两个函数间相似性的度量。•函数本身的自相关定义为•自相关有一个重要性质：它的模在原点处最大，即•这个性质常常用来作为图象（信号）识别的判据)()()(xgxfdxgfxrfg)()()(xfxfdxffxrff0)(ffffrxr22互相关与自相关比较互相关在两函数有相似性时出现峰值，自相关则会在位移到重叠时出现极大值23傅里叶变换定理（1）（1）线性定理：如果则有（2）相似性定理：如果则有xxfHfGxhxgFxxfHxhFfGxgF,xfGxgFafGaaxgFx124傅里叶变换定理（2）（3）位移定理：如果则有，函数在空域中的平移，带来频域中的相移同时，函数在空域中的相移，带来频域中的平移（4）帕色伐（Parseval）定理：如果则有：该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。xfGxgFafjfGaxgFxx2expaxaffGxfjxgF2expxfGxgFdxfGdxxgx2225傅里叶变换定理（3）（5）卷积定理：如果则有即，空间域两函数的卷积的傅里叶变换对应着两者变换式的乘积而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换对应着两者变换式的卷积卷积定理为傅里叶变换的计算提供了另一个方便的途径。xxfHxhFfGxgF,xxfHfGxhxgF*xxfHfGxhxgF*26傅里叶变换定理（4）（6）自相关定理：如果则有另一方面有•这表明了信号的自相关与功率谱之间存在傅里叶变换关系xfGxgF2xfGxgxgFxxfGfGxgF227傅里叶变换定理（5）（7）傅里叶积分定理：在函数的各个连续点上有即，对函数相继进行变换和逆变换，又重新得到原函数。xgxgxgFFxgFF1128常用函数及其傅里叶变换（1）（1）常数c（2）函数（3）余弦函数（4）正弦函数xfccF002expxfjxxFx000212cosffffxfFxx000212sinffffxfFxxxf02cosxf02sin29常用函数及其傅里叶变换（2）（5）阶跃函数用于表示开关（6）符号函数用于改变极性（正负号）0,00,210,1xxxxstepxxfjfxstepF21210,10,00,1sgnxxxxxfjxF1sgn30常用函数及其傅里叶变换（3）（7）矩形函数表示狭缝（8）三角形函数表示矩形光瞳OTF其它,021ax，axrectxxxfafaaafaaxrectFsinsinc其它,01triax，axax222sinsinctrixxxfafaaafaaxF31常用函数及其傅里叶变换（4）（9）梳状函数用来表示光栅，抽样（10）高斯函数用于表示激光光束光强分布nnxxcombxfxFcombcomb2expx22expexpxfxF32常用函数傅里叶变换应用举例•计算：•利用卷积定理和上述常用函数傅里叶变换可得：xfbxb02cos*sinc10000000010011sinc*cos2sinccos2102rect1211sinc*cos2sinc*cos2xxxxxxxxFfxFFfxbbbbfbbffffffffffbxxfxFFfxbbbbFf00001cos22xffffxfb33课堂练习•若实常数•试计算abaxbaxbxsincsinc*sinc34课堂练习答案计算：axbafbaFafbfabFaxFbxFFaxbxFFxxxsincrectrectrectsincsincsinc*sinc111135周期函数的傅里叶变换•周期函数的傅里叶变换可以通过展开成傅里叶级数来计算，如果展开为三角级数的形式，可以利用余（正）弦函数的傅里叶变换及相似性定理来计算；如果展开为复指数函数的形式，可以利用相移定理来计算。•若•则其傅里叶变换为•根据