必修四1.2.1任意角的三角函数

1.2.1任意角的三角函数东升西落照苍穹，影短影长角不同。昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣。新课引入日出日落，冬去春来，自然界中存在许多“按一定规律周而复始”的现象，我们把它们称为周期现象，用怎样的数学模型来刻画周期现象呢？周期现象与周期运动有关，一个简单的例子就是：圆周上一点的旋转运动.请看下面实例.新课引入问题探索问题1：如图，摩天轮的半径为10m，中心O离地面为20m，现在小明坐上了摩天轮，并从点P开始以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？PO.10m20m300P1M问题探索问题2：设转动度后小明离地面的高度为h,为00～900,试着写出h和的关系式。问题3：当推广到任意角后，你觉得上述关系式还能适用吗？PO.10m20m300P1M20+10sinh在初中阶段,我们对在直角三角形中锐角的三角函数定义如下：cba①正弦函数：②余弦函数(邻边比斜边)cosaBc③正切函数：(对边比邻边)tanbBaBAC┏(对边比斜边)sinbBc你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？我们先在平面上建立一个直角坐标系xoy,将锐角α的顶点放在坐标原点,始边放在x轴的非负半轴上,设OP为它的终边,如右图：xyo用坐标形式表示锐角三角函数:sincostanyryxryxP（x,y)Ox的终边M设点P(x,y)是锐角α终边上的任意一点，记OP=r（r≠0）则：22rxy【探究】比值是否因为P(x,y)点在终边上的位置发生变化而变化？,,yyxrrx结论:三个比值都不会随点P在α终边上的位置变化而改变.xyoPM1P1M的终边cosxrsinyαrtanyxr=1cosxsinαytanyx当点P(x,y)满足x2+y2=1时,正弦、余弦、正切函数值会有什么样的结果？xA(1,0)yOP(x,y)αM结论：锐角三角函数可以用终边与单位圆的交点的坐标来表示。sinαycosxtanyxyxO(,)Pxy设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则:y叫做α的正弦x叫做α的余弦叫做α的正切xy任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义:正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。————三角函数xysinxycosxytan定义域：R定义域：R定义域：},2|{Zkkxx如何求α角的三角函数值?关键：求出α角的终边与单位圆的交点。例1：求的正弦,余弦和正切值.355312AB1r13,22P2335siny2135cosx335tanxy32O练习：P151问题探索问题2：设转动度后小明离地面的高度为h,为00～900,试着写出h和的关系式。问题3：当推广到任意角后，你觉得上述关系式还能适用吗？PO.10m20m300P1M20+10sinh20+10sinh练习：摩天轮有个美丽的传说，当摩天轮转到最高点时许下的愿望一般能实现，你能求出小明第一次到达最高点许愿时转过的角的正弦、余弦、正切值吗?P153例2.已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.)4,3(0P220(3)(4)5.OP解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，),(yxP分别过点、作轴的垂线、0PMPP00PMx400PM于是，yMP30OMxOMOMP∽00POM;531cos00OPOMOPOMxxsin4tan.cos3yx4,30P0MOyxMyxP,yrxryx;54||1sin000OPPMOPMPyy设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离.),(yxP022yxrP那么①叫做的正弦，即ryrysin②叫做的余弦，即rxrxcos③叫做的正弦，即xy0tanxxy任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.P定义推广：135122222yxr1312cosrx125tanxy5sin,13yr于是，解：由已知可得：练习1:已知角的终边过点，求的三个三角函数值.5,12PP15.22sin,cos,:tan.yx已知角的终边在直线上，求角的练2的值习1解：当角的终边在第一象限时，221,2125在角的终边上取点，则r=225152sin,cos,tan2551552当角的终边在第三象限时，221,2125r在角的终边上取点，则225152sin,cos,tan255155yxo+-+++++-----yxoyxo全为+yxosincostan记法：一全正二正弦三正切四余弦sinyrcosxrtanyx三个三角函数在各象限的符号心得:角定象限,象限定符号.如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中zk利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.020360到或？例题2354cossintantan.()tan()例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:(1)250;(2)(-);(3)(-672);(4)34（1）因为是第三象限角，所以；2500250cos（3）因为=而是第一象限角，所以)672tan(tan(482360)tan48,tan(672)0;48解：（2）因为是第四象限角，所以4sin0;420tantan()tan.(4)3o5.9π11π(1)sin148010';(2)cos;(3)tan(-)46例求下列三角函数值:oooo(1)sin148010'=sin(4010'+4360)=sin4010'0.645;92(2)coscos(2)cos;4442113(3)tan()tan(2)tan.6663解：117119cossintan363练习：求值117119cossintan363解：cos4sin12tan6363cossintan3631131322MPysincosxOMMAP下面我们再从图形角度认识一下三角函数．思考:为了去掉等式中得绝对值符号，能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致？MPMPMPMP规定:与坐标轴相同的方向为正方向我们把被看做带有方向的线段叫有向线段ysin=MPOMxcos思考：能找到一条像MP，OM这样的线段来表示角的正切值吗？TATATATAATOAATOMMPxytan——正切线——余弦线——正弦线三角函数线TMAPTMAPTMAPTMAP当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；此时角的正弦值和正切值都为0x当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．此时角的正切值不存在。y41.,,3例作出角的正弦线余弦线正切线.MP是正弦线OM是余弦线AT是正切线yxoMPAT例题示范例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．332（1）；（2）．例1.在0～内，求使成立的α的取值范围.23sin2aOxy2(,)33ppaÎPMP1P232y=21sinxyoP1P2xyoTA21030例２．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角.30≤≤150解:3090或2102703tan3π0αsin,tan2例3.若,试比较的大小.sintan.POxyMAT54sin32sin与ABoS2S1P2P1M1例４.利用三角函数线比较下列各组数的大小：解：如图可知：54tan32tan与54sin32sinM254sin32sin与ABoT2T1S2S1例４.利用三角函数线比较下列各组数的大小：解：如图可知：54tan32tan与54sin32sin54tan32tan例5.求函数的定义域.()2cos1faa=-OxyP2MP112x=[2,2]()33kkkZppapp?++?P1cos2a³3(,)44A53(,)42B3(,2)2C37(,)24DCxyoMPAT32.(,)4若，则下列各式错误的是()()sincos0A()sincos0B()|sin||cos|C()sincos0DDsin0,cos0,|sin||cos|分析：xyoy=-xPM练习1.(0,2)cossintanxxxx在内使成立的的取值范围是()