2014高等微积分秋季期中试卷_参考答案

-1-装订线汕头大学2014-2015年秋季学期高等微积分期中试卷开课单位理学院任课老师林小苹、谭超强、李健评卷人林小苹、谭超强、李健等学生姓名学号所在开课班号所在学院题号12345678910总分满分10101010101010101010100得分1、(10分)(1,0)(1,2)).LLABxyds−+∫设是从到的线段，求曲线积分（解::1,Lxy+=………4分)LLxydsds+=∫∫（………4分22=………2分2、(10分)设L是圆周x2+y2=a2(a0)，方向为逆时针，求曲线积分解：2332[()()]Dxyyxxydxdyxy∂∂=−−−∂∂∫∫222:Dxya+≤4分22()Dxydxdy=+∫∫2分2Dddρρρθ=⋅∫∫3分42aπ=1分-2-3、(10分)已知力场，质点从原点出发沿着X轴运动到点(1，0)，然后再沿直线段到(0，1)，再沿着Y轴回到原点，求力所做的功。解：2()LWxxydxxydy=++∫v………4分1232()LLLxxydxxydy++=++∫………2分1122:001()3Lyxxydxxydyxdx=++==∫∫………1分20022:1115()(1)12Lxyxxydxxydyxdxxxdx+=++=−−=−∫∫∫………1分32:0()0Lxxxydxxydy=++=∫………1分112W=−………1分4.(10分)证明曲线积分(1,2)2322(0,0)(6)(63)xyydxxyxydy−+−∫在整个xoy面内与路径无关,并计算积分值.解：222(63)123Qxyxyxyyxx∂∂=−=−∂∂=23(6)Pxyyyy∂∂=−∂∂………4分所以此积分与路径无关.………1分(1,2)223222(0,0)0(6)(63)0(63)xyydxxyxydyyydy−+−=+−∫∫………4分4=………1分-3-5.(10分)计算222(2)xyzdSΣ++∫∫,其中∑是球面2221xyz++=。解：∑关于xoy面对称，被积函数2222xyz++关于z是偶函数，由对称性，2222(2)2(1)xyzdSzdSΣΣ∴++=+∫∫∫∫上222222:1,,11xyxyzxyzzxyxyΣ=−−=−=−−−−−上，2分222212(2)1xyDxydxdyxy∴=−−−−∫∫原式，22:1xyDxy+≤4分2212(2)1xyDddρρρθρ=−−∫∫，3分163π=1分6.(10分)计算(32),xzdxdyΣ−∫∫其中∑：在第一卦限中部分的上侧。解：∑：3(1),12xyz=−−2分(32)(693)xyDxzdxdyxydxdyΣ−=−++∫∫∫∫，:112xyxyD+≤5分=…….2分5=1分-4-7.(10分)计算其中∑是由|x|≤1,|y|≤1,|z|≤1所确定的立体Ω的表面的外侧。解:由高斯公式得:(111)dvΩ=+−∫∫∫原式………6分2dvΩ=∫∫∫………3分16=………1分8.(10分)2(,,Axyzxz=−+G设），求rotAAGGdiv()及()解:zAyAxAAdivzyx∂∂+∂∂+∂∂=G………2分211x=++2(1)x=+………3分zyxAAAzyxkjiArot∂∂∂∂∂∂=GKKG2ijkxyzxyzxz∂∂∂=∂∂∂−+GKK………2分ij=−−GG………3分-5-9.(10分)设有空间流速场(0,0,)vz=G，求vG通过曲面z=x2+y2位于平面z=1以下部分的∑下侧的通量(流量)。解：zdxdyΣΦ=∫∫22()xyDxydxdy=−+∫∫2Dddρθρρρθ=−∫∫2π=−10、(10分)求向量(,,Axyzxyz=G）沿曲线L：的环流量，L的方向取对着z轴的正向看去的逆时针方向。解：LxydxzxdyyzdzΓ=++∫v………2分设L围成的平面块为∑，∑的方向与L符合右手法则，则由Stoeks公式得：1分LxydxzxdyyzdzdydzdzdxdxdyxyzxyzxyzΣΓ=++∂∂∂=∂∂∂∫∫∫v2分()zxdydzΣ=−∫∫0−()zxdxdy+−2分0()2xyDRxdxdy=+−∫∫2分23330248RRRππ=⋅−=1分