我所认识的应力应变

我所认识的应力与应变机械与动力工程学院张淑颖612080706053初次接触应力应变的概念是在材料力学中，当材料在外力作用下不能产生位移时，它的几何形状和尺寸将发生变化，这种形变就称为应变（Strain）。材料发生形变时内部产生了大小相等但方向相反的反作用力抵抗外力，还有一种说法是，物体由于外因(受力、湿度变化等)而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置，这样的力被称为内力。我们把分布内力在一点的集度称为应力（Stress），应力与微面积的乘积即微内力，因此应力定义为单位面积上所承受的内力。公式表示为：其中，σ表示应力；ΔFj表示在j方向的施力；ΔAi表示在i方向的受力面积。定义应力目的是为了描述某点（当面积区域无穷小时）的受力大小，它们在作用面上积分而成的合力即表现为集中力。力是矢量，存在着方向的描述，于是应力亦为矢量，其可以分解为各个方向上的分量。在物体定义描述点应力时，通常在该处取一微小六面体，由3个正应力σx、σy、σz和6个剪应力σxy、σyx、σyz、σzy、σzx、σxz来描述（如图1）。对于应力分量的描述，当所描述的坐标系oxyz取为不同时，相应的应力分量亦在变化。特别地，当在某一坐标系下剪应力σxy、σyx、σyz、σzy、σzx、σxz均为0时，我们将正应力σx、σy、σz定义为主应力σ1、σ2、σ3。应用强度理论去判定强度时，有四种强度理论，适用于不同的条件，分别对应各自的极限应力为：第一强度理论：σ1；第二强度理论：σ1-μ（σ2+σ3）；第三强度理论：σ1-σ3；第四强度理论：2221223311()()()2。而对于应变，物体在外力作用下，发生变形，同时引起应力，物体内部各点处变形程度一般并不相同。用以描述一点处变形的程度的量就是该点的应变，其中，描述线变形的称为线应变，描述角变形的为切应变。线应变实际上就是单位长度上的变形量，为无量纲，其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小，切应变是一点单元体两棱角直角的改变量，也无量纲。材料力学所研究的问题限于小变形的情况即认为无论是变形或因变形引起的位移，其大小都远小于构件的最小的尺寸，而实际上，构件的变形一般是极其微小的，需要用精密的仪器才可以测定。一般通过采集应变片的信号，而转化为电信号进行分析和测量。具体方法是：将应变片贴在被测定物上，使其随着被测定物的应变一起伸缩，这样里面的金属箔材就随着应变伸长或缩短。很多金属在机械性地伸长或缩短时其电阻会随之变化。应变片就是应用这个原理，通过测量电阻的变化而对应变进行测定。一般应变片的敏感栅使用的是铜铬合金，其电阻变化率为常数，与应变成正比例关系。再通过惠斯通电桥，便可以将这种电阻的比例关系转化为电压，通过其一一对应的关系将这种电压的变化转化成可以测量的数据。在弹塑性力学中，应力应变概念更加深化，研究对象可变形固体也由材料力学中的线弹性范围扩展到工程结构中的弹性及塑性阶段。为方便研究，首先引入的是可变形固体所受外力的两种类型，体力（作用在物体微粒体积上的力）和面力（沿着物体表面的分布力）的概念。在外力等因素的作用下，其内部各部分之间就要产生相互的作用，内力指物体内的一部分与其相邻的另一部分之间相互作用的力。应力就是载荷引起的物体内单位面积上的内力，表示内力在截面上某一点的分布集度点与材料力学中的应力的定义基本一致。在弹塑性力学中，研究一点c处的应力状态，从该点截取三个相互垂直的微元面，并使这三个微分面的外法线方向分别与三个坐标轴的方向一致，再把这三个微分面上的应力矢量沿三个坐标轴方向分解，则可得9个应力分量，他们分别是过同一点c的相互垂直的微分面上的应力矢量的分量，这9各分量作为一个整体组成了所谓的二阶张梁，称之为应力张量zzyzxyzyyxxzxyxij或者333231232221131211ij。根据通过微元体中心且平行于zyx,,轴的线为取力矩的轴，列力矩平衡条件，则可得剪应力互等定理：xzzxzyyzyxxy,,。这个公式可以看出应力张量是一个对称张量，独立的分量只有6个。由于应力张量是一个二阶张量，因此在数学上，应力分量的各个分量在坐标变换时，应服从二阶张量的坐标变换规律。9个应力分量的空间力系，可以表述成6个方程，其中3个力的平衡方程，3个力矩平衡方程。内部微元体的平衡采用应力平衡方程（即纳维方程），0,ijijF；边界微元体的平衡采用应力边界条件，zyxlll,,—边界外法线的方向余弦，zyxppp,,边界上已知的面力分量，zzyzxzzyyyxyzxyxxx边界各点应力，应力的边界条件：zyxzzyzxzzyyyxyzxyxxxzyxlllppp。在弹塑性力学中，位移是物体上某点空间位置的改变，是物体变形的数学描述。位移由刚体位移即物体整体的移动和转动所产生的位移，以及变形位移即物体各部分之间的相对运动所产生的位移两部分组成。变形描述了物体各组成部分之间的相对位置的变化，以及物体形状和尺寸的变化。一点的应变状态可描述为：该点任意斜方向的线应变和该点任意两正交方向的剪应变，包括线应变和角应变，即线应变为：PAPAAPPAn''lim0，表示点P在PA方向上的线应变；角应变为：)2(lim00PBPAmn，表示点P在PA与PB（PBPA）方向的剪应变，这点与材料力学中应变的描述也基本一致。与应力相对应地我们引入了应变张量，在直角坐标系中用一点的三个正应变和三个剪应变来表示某点的应变分量，如同前面的应力分量相似写法，其中一点的应变分量的数学写法，记为zzyzxyzyyxxzxyxij212121212121，工程上我们一般记作zzyzxyzyyxxzxyxij。与应力张量的坐标变换规律相类似，如果坐标系仅作平移变换，则同一点的各个应变张量是不会发生变化的，只有坐标系做旋转变换时同一点的各个应变张量才会改变，并且满足二阶张量的转轴公式，同样也是一个二阶对称张量。弹塑性力学中根据连续性假设，物体变形后仍保持其连续性，在数学上，要求位移函数是空间坐标的单值连续函数，否则变形后就会出现裂缝或者重叠。对6个独立的应变分量任意给定6个函数时，就有可能出现这种变形不协调的现象，因此各应变分量之间必须满足一定的关系。由此引出两个重要方程和一个边界条件：柯西方程：xux，yuxvxy；yvy，zvywyz；zwz，xwzuzx，柯西方程成立的前提条件为受力物体的形变满足小变形理论，所反映的是位移和应变的关系，其意义表示由连续可导的位移场求应变场。圣维南方程（应变协调方程或相容方程）：yxxyxyyx22222，zyyzyzzy22222，xzzxzxxz22222zxyzxy,,面内协调；zyzyxxxxyxzyz22,zxzyxyyxyxzyz22,yxzyxzzxyxzyz22面面之间协调。应变协调方程表示要使以位移分量为未知函数的6个几何方程不相矛盾，则6个应变分量必须满足应变协调方程。对于单连通物体，应变分量满足圣维南方程是物体连续的充要条件；对于多连通物体应变分量满足圣维南方程是物体连续的必要条件。位移的单值性条件：变形前和变形后的相容性即位移相同，uu。对于多连通域位移的单值性，边界上各点位移满足的条件为位移的边界条件，物体的某些边界上，有约束存在，则位移在边界的取值应等于边界上已知的位移，即iiiiiiwwvv,,，位移边界条件反应了边界上的几何约束或边界上的变形协调，即不允许在物体边界上发生位移不连续的情况。材料的应力应变关系体现了材料的固有力学性能。不同的材料会有完全不同的应力应变关系。完整的应力应变曲线往往无法用一个简单的数学方程来表达。如果仅限于小应变范围内，许多材料的应力应变关系可以用简单的线性弹性关系来表达。在弹性阶段，应力应变存在一一对应的单值函数关系，而且通常还假设是线性阶段；在塑性阶段，应力应变阶段，应力和应变之间通常不存在一一对应的关系，而且还是非线性关系。