2018年普通高等学校招生全国统一考试(一)理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分。考试用时120分钟。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2017辽宁沈阳市高考一模)设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则(B)A.P⊆QB.Q⊆PC.P⊆∁RQD.Q⊆∁RP解析:P={x|x<4},Q={x|x2<4}={x|﹣2<x<2},如图所示,可知Q⊆P,故选B.2.2.(2017四川泸州市高考模拟)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x3(x>0)和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是(A)A.B.C.D.解析:可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型,由图可知基本事件空间所对应的几何度量S(Ω)=1,满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量:S(A)==(﹣)=.所以P(A)=.故选A.3.(2017山东临沂市高考二模)如果复数z=,则(C)A.|z|=2B.z的实部为1C.z的虚部为﹣1D.z的共轭复数为1+i解析:由z==,所以,z的实部为﹣1,z的虚部为﹣1,z的共轭复数为﹣1+i,故选C.4.(2017安徽省蚌埠市二次质检)已知等差数列na的前n项和为nS,且6924,63SS,则4a(B)A.4B.5C.6D.7【解析】设等差数列na的公差为d,6911659824,63,624,96322SSadad,联立解得11,2ad,则41325a,故选B.5.(2017福建省宁德市高三毕业班第三次质量检查)已知函数fx是定义域为R的奇函数,且当0x时,2log12xfxxa,则满足23190fxx的实数x的取值范围是(D)A.2,1B.1,0C.0,1D.1,2【解析】因为020log0120fa,所以1a.据题设可知,设0x则.2)1(log)(,02axxfxx那么因为).()()(xfxfxf是奇函数,所以,所以2log121xfxx.经分析知fx在R上单调递增,且9)3(f.因为23190fxx,即)3(9)13(2fxxf有2313xx,解得12x.故选D.6.(2017福建南平市高考一模)(x+)(2x﹣)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为(D)A.﹣40B.﹣20C.20D.40解析:令x=1则有1+a=2,得a=1,故二项式为(x+)(2x﹣)5故其常数项为﹣22×C53+23C52=40.故选D.7.(2017河南商丘市高考二模)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(B)A.B.C.D.4解析:由三视图可知该几何体为四棱锥P﹣ABCD,如图所示,连接BD.其体积V=VB﹣PAD+VB﹣PCD==.故选B.8.(2017辽宁省沈阳市高考三模)按如图所示的程序框图,若输入a=81,则输出的i=()A.14B.17C.19D.21解析:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算S=1+2+3+..i的值,当S>81时,输出i+1的值.由于S=1+2+3+…+i=,当i=12时,S==78<81,当i=13时,S==91>81,满足退出循环的条件,故输出i的值为13+1=14.故选A.9.(2017湖南湘潭二模)已知函数f(x)=1+2cosxcos(x+3φ)是偶函数,其中φ∈(0,),则下列关于函数g(x)=cos(2x﹣φ)的正确描述是(C)A.g(x)在区间[﹣]上的最小值为﹣1.B.g(x)的图象可由函数f(x)向上平移2个单位,在向右平移个单位得到.C.g(x)的图象可由函数f(x)的图象先向左平移个单位得到.D.g(x)的图象可由函数f(x)的图象先向右平移个单位得到.解析:∵函数f(x)=1+2cosxcos(x+3φ)是偶函数,其中φ∈(0,),)3cos()cos(21)(xxxf,即03sinsin),3cos()3cos(xxx展开整理可得∴3φ=π,φ=。∴f(x)=1+2cosxcos(x+π)=1﹣2cos2x=﹣cos2x=cos(π﹣2x)=cos(2x﹣π),∴函数g(x)=cos(2x﹣φ)=cos(2x﹣)。.1)(0,322,312xgxx因此A不正确;故函数f(x)的图象先向左平移个单位得到y=cos[2(x+)﹣π]=cos(2x﹣)=g(x)的图象,故选C.10.(2017河南省洛阳市高考三模)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(B)A.212B.2+1C.215D.5﹣1解析:过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|.∴=.设PA的倾斜角为α,则sinα=.当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,设直线PA的方程为y=kx﹣1,代入x2=4y,可得x2=4(kx﹣1),即x2﹣4kx+4=0,∴△=16k2﹣16=0,∴k=±1.∴P(2,1).∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2(﹣1),∴双曲线的离心率为=+1.故选B.11.(2017炎德英才湖南大联考长郡中学高考模拟卷(一))已知直线l与函数lnln1fxexx的图象交于,AB两点,若AB中点为点1,2Pm,则m的大小为(B)A.13B.12C.1D.2B【解析】由已知条件有:lnlnln1fxexx,1lnln1lnfxexx,则11fxfx,当12x时,11122ff,所以1122f,故选择B.12.(2017湖南永州市二模)有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠,四人约定分配方案:四人先抽签排序①②③④,再由①号提出分配方案,四人表决,至少要有半数的赞成票才算通过,若通过就按此方案分配,否则提出方案的①号淘汰,不再参与分配,接下来由②号提出分配方案,三人表决…,依此类推.假设:1.四人都守信用,愿赌服输;2.提出分配方案的人一定会赞成自己的方案;3.四人都会最大限度争取个人利益.易知若①②都淘汰,则③号的最佳分配方案(能通过且对提出方案者最有利)是(10,0)(表示③、④号分配珍珠数分别是10和0).问①号的最佳分配方案是()A.(4,2,2,2)B.(9,0,1,0)C.(8,0,1,1)D.(7,0,1,2)解析:根据若①②都淘汰,则③号的最佳分配方案(能通过且对提出方案者最有利)是(10,0)(表示③、④号分配珍珠数分别是10和0),可知①号的最佳分配方案是(9,0,1,0),故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(2017安徽省黄山市高考二模)已知=(,),||=1,|+2|=2,则在方向上的投影为.【解析】:=(,),||=1,|+2|=2,可得||=1,|+2|2=4,即为2+4•+42=4,即有1+4•+4=4,•=﹣,可得在方向上的投影为=﹣.【答案】﹣14.(2017山西省吕梁孝义市考前模拟)若x,y满足约束条件,设x2+y2+4x的最大值点为A,则经过点A和B(﹣2,﹣3)的直线方程为.【解析】:画出约束条件表示的平面区域,如图所示;则z=x2+y2+4x=(x+2)2+y2﹣4,表示平面区域(阴影部分)内的点P(x,y)到点C(﹣2,0)的距离的平方减去4,所以它的最大值点为A,由解得A(3,0),所以经过点A和B(﹣2,﹣3)的直线方程为=,化为一般形式为3x﹣5y﹣9=0.答案:3x﹣5y﹣9=0.15.(2017云南省高考一模)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,与双曲线的渐近线交于C,D两点,若|AB|≥|CD|,则双曲线离心率的取值范围为.【解析】:设双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点为(c,0),当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±,则A(c,),B(c,﹣),则AB=,将x=c代入y=±x得y=±,则C(c,),D(c,﹣),则|CD|=,∵|AB|≥|CD|,∴≥•,即b≥c,则b2=c2﹣a2≥c2,即c2≥a2,则e2=≥,则e≥.答案:[,+∞).16.(2017江西省百所重点高中联合模拟)体积为的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上,球心O在此三棱锥内部,且R:BC=2:3,点E为线段BD上一点,且DE=2EB,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是.【解析】:设BC=3a,则R=2a,∵体积为的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上,∴=,∴h=,∵R2=(h﹣R)2+(a)2,∴4a2=(﹣2a)2+3a2,∴a=2,∴BC=6,R=4,∵点E为线段BD上一点,且DE=2EB,∴△ODB中,OD=OB=4,DB=6,cos∠ODB=,∴OE==2,截面垂直于OE时,截面圆的半径为=2,截面圆面积为8π,以OE所在直线为直径时,截面圆的半径为4,截面圆面积为16π,∴所得截面圆面积的取值范围是[8π,16π].【答案】[8π,16π].三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17(本小题满分12分)(2017•河南省重点中学高考模拟)如图,在△ABC中,D为AB边上一点,DA=DC,已知B=,BC=1.(1)若△ABC是锐角三角形,DC=,求角A的大小;(2)若△BCD的面积为,求边AB的长.解:(1)在△BCD中,B=,BC=1,DC=,由正弦定理得到:,解得sin∠BDC==,则∠BDC=或.△ABC是锐角三角形,可得∠BDC=.又由DA=DC,则∠A=.(2)由于B=,BC=1,△BCD面积为,则•BC•BD•sin=,解得BD=.再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos=1+﹣2××=,故CD=,又由AB=AD+BD=CD+BD=,故边AB的长为.18.(本小题满分12分)(2017河北唐山一模)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=2,M、N分别是AB、A1C的中点.(1)求证:MN∥平面BB1C1C;(2)若平面CMN⊥平面B1MN,求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值.【解】(1)证明:连接AC1,BC1,则N∈AC1且N为AC1的中点,又∵M为AB的中点,∴MN∥BC1,又BC1⊂平面BB1C1C,MN⊄平面BB1C1C,故MN∥平面BB1C1C.(2)解:由A1A⊥平面ABC,得AC⊥CC1,BC⊥CC1.以C为原点,分别以CB,CC1,CA所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设CC1=2λ(λ>0),则M(1,0,1),N(0,λ,1),B1(2,2λ,0),,=(﹣1,λ,0),.取平面CMN的一个法向量为,由,得:,令y=1,得,同理可得平面B1MN的一个法向量为,∵平面CMN⊥平面B1MN,∴,解得,得,又,设直线AB与平面B1MN所成角为θ,则.所以,直线AB与平面B1MN所成角的正弦值是.19.(本小题满分12分)(2017福建厦门二模)2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识