77套历年全国高中数学竞赛试卷及答案

2017年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5月14日下午14:30—16:30）题目一二三总成绩13141516得分评卷人复核人考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。3.计算器，通讯工具不准待入考场。4.解题书写不要超过封线一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1.已知函数1ln2xxxaxf在处有极值，则实数a的值是（）A.-2B.-1C.1D.22.已知013tan,tan02xx是方程，，，的两个根，则的值是cos（）A.31B.32C.35D.253.在8zyx的展开式。所有形如Nbazyxba.2的项的系数之和是（）A.112B.448C.1792D.143364.已知01222221babyaxFF为椭圆，的左，右焦点，该椭圆上存在两点A,B,使得BFAF213,则该椭圆的离心率的取值范围是（）A.（0.21）B.（0.31）C.（21，1）D.（31，1）5.已知△ABC中，BCABACABCABCAB则，3的最大值时（）A.25B.3C.2D.56.已知数列na满足：Nnannn1212，用x表示不超过实数x的最大整数，则2017a的个位数是（）A.2B.4C.6D.8二，填空题（本大题共6个小题，每条题5分，共30分）7.已知函数201612017,52525kxxkfxf则=_________.8.设iaziaziazRa43,22,,321复数，其中i是虚数单位，若321,,zzz成等比数列，则实数a的值是___________.9.若yxP,是双曲线14822yx上的点，则yx的最小值是_________.10.如图，设正方体1111DCBAABCD的棱长为1，α为过直线1BD的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是_________.11.已知实数321,,xxx满足：23221232221,2xxxxxxxx则的最大值是____.12.设集合3339,,,,,,10987654321zyxMzyxzyxAM丨且丨，，，，，，，，，则集合A中元素的个数是___________三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13.已知数列na满足：*11185,Nnaaaaannn（1）若a=3,求证：数列42nnaa成等比数列，并求出数列na的通项公式；（2）若对任意的正整数n,都有3na，求实数a的取值范围。14.1993年，美国数学家F.Smarandache提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的Smarandache函数。正整数n的Smarandache函数定义为!,min*mnNmmnS丨丨，比如：363322SSS，，（1）求数S（16）和S（2016）的值；（2）若S（n）=7,求正整数n的最大值；（3）证明：存在无穷多个合数n，使得pnS,其中np为的最大质因数.15.如图，xAA在与点点轴上，且关于y轴对称，过点A垂直于x轴的直线与抛物线xy22交于B,C,点D为线段AB上的动点，点E在线段AC上，满足ABADCACE（1）求证：直线DE与此抛物线有且只有一个公共点；（2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记△BCF与△ADE的面积分别为21SS，,求21SS的值.16.设，为实数，若对任意的实数222,,,zyxMzxyzxyzyx有恒成立，其中222222222222yxyxxzxzxzxzzyzyzyzyyxyxM求的最大值和的最小值2017年全国高中数学联赛（四川初赛）试题草考答案及评分标准一，选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1.A2.B3.C4.C5.B6.A二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7.10088.09.210.226，11.212.243三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13.证明：（1）因为423418521854211nnnnnnnnaaaaaaaa所以，数列42nnaa成等比数列……5分于是13234,3424211111nnnnnnaaaaa解得即数列na的通项公式1323411nnna……10分（2）法1：因为3na对任意的正整数n都成立，故31aa由（1）知13234,334242111111nnnnnnnaaaaa解得①当3a4时，则b0,注意到13301nnbb则nnnnaabb11,132132于是，即数列na单调递增从而43,3aan因此……15分②当a=4时，由条件可知4na满足条件：③1,0424baaa则时，当注意到3,03,13133111nnnnnabbba故而，满足条件综上，所求实数a的取值范围，3……20分法2：因为3na对任意的正整数n都成立，故31aa下面用数学归纳法证明：当3a时，对任意的正整数n，都有3na当1n时，结论成立：假设时，结论成立1kkn当152318511kkkkkaaaaakn时，注意到，……15分于是结论对1kn也成立.由归纳原理知，对任意的正整数n，都有3na综上，所求实数a的取值范围，3……20分14.解：因为6162164S，故……5分由7,3,2max201673220162525SSSS知又8201682637752SSSS，故，，……10分（2）由!777nnnS！，从而丨知又50407.7!7！的最大值是所以，正整数nS……15分（3）因为对任意奇质数nSn都有，取,2所以，存在无穷多个合数n,使得的最大质因数为其中nnS,……20分15，解：（1）设0,a2,0,222AaA所以可得,2,2,2,222aaCaaB设CACEABADyxD则,,,11于是aaDaayax2,24,2,4,222121的坐标为故设aaayaxCACEyxE2,42,2,,222222，得由所以E的坐标为aa22,422因此直线DE的斜率为：aaakDE2414822，……5分所以直线DE的方程是,2424122axaay化简得，222122122,2424224ayaxaxaaay即①与抛物线方程联立，得,1221222222ayay即0124124222ayay②此时，方程②有两个相等的根：122ay代入①，得22122ax所以直线DE与此抛物线有且只有一个公共点122,12222aaF……10分（2）2321444242121axaahBCSSFBCF……15分设直线DE与x轴交于点G，令22122122.0ayaxy代入方程①，解得22222224421222,12aaaAGax故于是232224422224421aaaayyAGSSSSEDAEGADGADE所以221SS……20分16.解：取33393,1，，则有zyx（1）先证：成立对任意的实数zyxzxyzxyM,,3因为2243224322yyzyxyyzyx22222222432432yyzyyxzyzyyxyx22121yyzxyxz……5分分，所以1032221212222zxyzxyzxyzxyzxyzxyzyxzxyzxyyyzxyxzM（2）再证：成立对任意的实数zyxzyxM,,3222分因为1532222222222222222zyxzxyzxyzyxxzxzzyzyyxyxM综上可知，α的最大值是3，β的最小值是3……20分1988年全国高中数学联赛试题第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．|k|1B．|k|≠1C．－1k1D．0|k|13．平面上有三个点集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|1}，N={(x，y)|(x－12)2+(y+12)2+(x+12)2+(y－12)222}，P={(x，y)||x+y|1，|x|1，|y|1}．则A．MPNB．MNPC．PNMD．A、B、C都不成立4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命题甲：θπ3；命题乙：a、b、c相交于一点．则A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠Ø．⑶M≠Ø．⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是A．1B．2C．3D．4二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么b4－b3a2－a1=．2．(x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则DEBC=．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．四．(15分)复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．五．(15分)已知a、b为正实数，且1a+1b=1，试证：对每一个n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．1988年全国高中数学联赛二试题一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=5an+1