平面向量基本定理与坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.选择题：设e1，e2是平面内一组基底，那么()A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b等于()A．(－2，－1)B．(－2,1)C．(－1,0)D．(－1,2)解析12a＝(12，12)，32b＝(32，－32)，故12a－32b＝(－1,2)．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．－12a＋32bB.12a－32bC．－32a－12bD．－32a＋12b解析设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴λ＝12，μ＝－32，∴c＝12a－32b.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于()A.14B.12C．1D．2解析∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，且(a＋λb)∥c，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于()A.1，83B.－133，83C.133，43D.－133，－43解析由已知3c＝－a＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，∴c＝－133，－43.已知向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－23B.43C.12D.13解析AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2)，∵A，B，C三点共线，∴AB→，AC→共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为()A.35，－45B.45，－35C.－35，45D.－45，35解析AB→＝OB→－OA→＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|＝35，－45.已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB→＝3a，则点B的坐标为()A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)解析设点B的坐标为(x，y)，则AB→＝(x＋1，y－5)，由AB→＝3a，得x＋1＝6，y－5＝9，解得x＝5，y＝14.已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，∴m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A已知在□ABCD中，AD→＝(2,8)，AB→＝(－3,4)，则AC→＝()A．(－1，－12)B．(－1,12)C．(1，－12)D．(1,12)解析∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC→＝AB→＋AD→＝(－1,12)在△ABC中，点D在BC边上，且CD→＝2DB→，CD→＝rAB→＋sAC→，则r＋s等于()A.23B.43C．－3D．0解析∵CD→＝2DB→，∴CD→＝23CB→＝23(AB→－AC→)＝23AB→－23AC→，则r＋s＝23＋－23＝0已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC→＝2AE→，则向量EM→＝()A.12AC→＋13AB→B.12AC→＋16AB→C.16AC→＋12AB→D.16AC→＋32AB→＝EC→＋CM→＝23AC→＋12CB→＝23AC→＋12解析如图，∵EC→＝2AE→，∴EM→(AB→－AC→)＝12AB→＋16AC→在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC→等于()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)解析BC→＝3PC→＝3(2PQ→－PA→)＝6PQ→－3PA→＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ等于()A.15B.25C.35D.45解析∵AB→＝AN→＋NB→＝AN→＋CN→＝AN→＋(CA→＋AN→)＝2AN→＋CM→＋MA→＝2AN→－14AB→－AM→，∴AB→＝85AN→－45AM→，∴λ＋μ＝45.填空题：已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________.解析由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，即m＝－4.从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．已知向量a＝(x,1)，b＝(2，y)，若a＋b＝(1，－1)，则x＋y＝________.解析∵(x,1)＋(2，y)＝(1，－1)，∴x＋2＝1，y＋1＝－1，解得x＝－1，y＝－2，∴x＋y＝－3.已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为()A．－1B．－12C.12D．1解析∵u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)，v＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u∥v，∴1×3＝2(2＋k)，得k＝－12已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．解析∵a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，∴u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又∵u∥v，∴3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝12.若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________解析AB→＝(a－1,3)，AC→＝(－3,4)，根据题意AB→∥AC→，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－54在□ABCD中，AC为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则向量BD→的坐标为__________．解析∵AB→＋BC→＝AC→，∴BC→＝AC→－AB→＝(－1，－1)，∴BD→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝(－3，－5)．已知□ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________解析设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5.已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_______解析∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，∴DC→＝2AB→.设点D的坐标为(x，y)，则DC→＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，AB→＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴4－x＝2，2－y＝－2，解得x＝2，y＝4，故点D的坐标为(2,4)．如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________．解析：设BP→＝kBN→，k∈R.∵AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋kBN→＝AB→＋k(AN→－AB→)＝AB→＋k(14AC→－AB→)＝(1－k)AB→＋k4AC→，且AP→＝mAB→＋211AC→，∴1－k＝m，k4＝211，解得k＝811，m＝311.在□ABCD中，AB→＝e1，AC→＝e2，NC→＝14AC→，BM→＝12MC→，则MN→＝________(用e1，e2表示)解析如图，MN→＝CN→－CM→＝CN→＋2BM→＝CN→＋23BC→＝－14AC→＋23(AC→－AB→)＝－14e2＋23(e2－e1)＝－23e1＋512e2如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a，b表示AD→，则AD→＝____________解析AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋34BC→＝AB→＋34(AC→－AB→)＝14AB→＋34AC→＝14a＋34b若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a＋1b的值为________．解析AB→＝(a－2，－2)，AC→＝(－2，b－2)，则(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，∴1a＋1b＝12.设OA→＝(－2,4)，OB→＝(－a,2)，OC→＝(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则1a＋1b的最小值为________解析由题意得AB→＝(－a＋2，－2)，AC→＝(b＋2，－4)，又AB→∥AC→，∴(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，即－a＋2＝λb＋，－2＝－4λ，整理得2a＋b＝2，∴1a＋1b＝12(2a＋b)(1a＋1b)＝12(3＋2ab＋ba)≥12(3＋22ab·ba)＝3＋222(当且仅当b＝2a时，等号成立)．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝12ax与线段AB交于点C，且AC→＝2CB→，则实数a＝________.解析设C(x，y)，则AC→＝(x－7，y－1)，CB→＝(1－x,4－y)，∵AC→＝2CB→，∴x－7＝－x，y－1＝－y，解得x＝3，y＝3.∴C(3,3)．又∵C在直线y＝12ax上，∴3＝12a·3，∴a＝2.已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________解析若点A，B，C能构成三角形，则向量AB→，AC→不共线．∵AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC→－OA→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.设0＜θ＜π2，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.解析∵a∥b，∴sin2θ×1－cos2θ＝0，∴2sinθcosθ－cos2θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cosθ＞0，∴2sinθ＝c