总第60课时——培优选练(三)-平行四边形的性质与判定的综合

数学北师版八年级下册课件目录首页末页总第60课时——培优选练(三)平行四边形的性质与判定的综合1．[2014·台州]图60－1是某公共汽车前挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图60－2，雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB＝CD，且AD＝BC.这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC.请证明这一结论．图60－1图60－2数学北师版八年级下册课件目录首页末页证明：∵AB＝CD且AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵EF⊥AD，∴EF⊥BC.数学北师版八年级下册课件目录首页末页2．[2015·扬州月考]如图60－3，E，F是▱ABCD对角线上的两点．(1)给出下列三个条件：①BE＝DF；②AF＝CE；③△AEB≌△CFD.在上述三个条件中，选择一个合适的条件说明四边形AECF是平行四边形，则可以选择__________；(2)选择其中的一种方案证明四边形AECF是平行四边形．图60－3①或③解：选择①BE＝DF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，数学北师版八年级下册课件目录首页末页在△ABE与△CDF中，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，同理△ADF≌△CBE，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．数学北师版八年级下册课件目录首页末页3．已知，如图60－4，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于O点，点E，F分别为BO，DO的中点，试证明：(1)OA＝OC，OB＝OD；(2)四边形AECF是平行四边形；(3)如果E，F点分别在DB和BD的延长线上，且满足BE＝DF，上述结论仍然成立吗？请说明理由．图60－4数学北师版八年级下册课件目录首页末页(1)证明：∵AC，BD是平行四边形ABCD中的对角线，O是交点，∴OA＝OC，OB＝OD.(2)证明：∵OB＝OD，点E，F分别为BO，DO的中点，∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．(3)解：结论仍然成立．理由：∵BE＝DF，OB＝OD，∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．所以结论仍然成立．数学北师版八年级下册课件目录首页末页4．[2014·云南]如图60－5，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC的中点，BC＝2CD.(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；(2)求证：BD＝3MN.图60－5数学北师版八年级下册课件目录首页末页证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵M，N分别是AD，BC的中点，∴MD＝NC，MD∥NC，∴四边形MNCD是平行四边形．(2)∵N是BC的中点，BC＝2CD，∴CD＝NC.∵∠C＝60°，∴△DCN是等边三角形，∴ND＝NC，∠DNC＝∠NDC＝60°，第4题答图数学北师版八年级下册课件目录首页末页∴ND＝NB＝CN，∴∠DBC＝∠BDN＝30°，∴∠BDC＝∠BDN＋∠NDC＝90°，∴BD＝BC2－CD2＝（2CD）2－CD2＝3CD.∵四边形MNCD是平行四边形，∴MN＝CD，∴BD＝3MN.数学北师版八年级下册课件目录首页末页5．[2014·高淳县二模]如图60－6，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF，CE.(1)求证：△BME≌△DNF；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．图60－6数学北师版八年级下册课件目录首页末页证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠NDF＝∠MBE，∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴AM∥CN，又∵AN∥CM，∴四边形AMCN为平行四边形，∴AN＝CM，∴AD－AN＝BC－CM，即DN＝BM，又∵∠BME＝∠DNF＝90°，∴△BME≌△DNF(ASA)；(2)由(1)得：NF＝ME，AM＝CN，AM∥CN，∴AM－ME＝CN－NF，即AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形．数学北师版八年级下册课件目录首页末页6．[2014·资阳]四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BE，CD＝DF.(1)如图60－7，若点E，F分别在CB，AD的延长线上，求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若点E，F分别在DA，BC的延长线上，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．图60－7数学北师版八年级下册课件目录首页末页(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD.∵AB＝BE，CD＝DF，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．(2)解：成立．理由：如答图，连接AF，CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠DAB＝∠DCB，AD∥BC.又∵∠EAB＋∠DAB＝180°，∠DCB＋∠DCF＝180°，第6题答图数学北师版八年级下册课件目录首页末页∴∠EAB＝∠DCF.又∵AB＝BE，CD＝DF，∴∠AEB＝∠EAB＝∠DCF＝∠DFC，在△EBA和△FDC中，∠EAB＝∠FCD，∠AEB＝∠CFD，AB＝CD，∴△EBA≌△FDC(AAS)，∴AE＝CF.∵AD∥BC，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．数学北师版八年级下册课件目录首页末页7．[2015·扬州]如图60－8，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE.(1)求证：四边形BCED′是平行四边形．(2)若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2.图60－8数学北师版八年级下册课件目录首页末页证明：(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，∴∠DAD′＝∠DED′，∴易证四边形DAD′E是平行四边形，∴DE＝AD′，数学北师版八年级下册课件目录首页末页∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABDC，∴CED′B，∴四边形BCED′是平行四边形；(2)∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA，∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠CBA＝180°，∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AB2＝AE2＋BE2.綊綊数学北师版八年级下册课件目录首页末页8．[2014·丰台]如图60－9，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)如果∠G＝90°，∠C＝60°，BC＝2，求四边形DEBF的面积．图60－9数学北师版八年级下册课件目录首页末页(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，DC＝AB.∵E，F分别为边AB，CD的中点，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．(2)解：∵AG∥BD，∠G＝90°，∴∠DBC＝90°，∵∠C＝60°，BC＝2，∴DC＝2BC＝4，由勾股定理得BD＝23，数学北师版八年级下册课件目录首页末页∴△DBC的面积是12×BD×BC＝12×23×2＝23.∵F为DC的中点，∴△DBF的面积是12S△DBC＝12×23＝3.∵四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF的面积是2S△DBF＝23.