平面向量知识点及习题分章节

平面向量必修4第2章平面向量§2.1向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．考纲要求：①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念及向量相等的含义．③理解向量的几何表示．经典例题：下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.下列各量中是向量的是()A.密度B.体积C.重力D.质量2下列说法中正确的是（）A.平行向量就是向量所在的直线平行的向量B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为零D.共线向量是在一条直线上的向量3．设O是正方形ABCD的中心，则向量AO、OB、CO、OD是（）A．平行向量B．有相同终点的向量C．相等的向量D．模都相同的向量4.下列结论中,正确的是()A.零向量只有大小没有方向B.对任一向量a,|a|0总是成立的C.||AB=|BA|D.||AB与线段BA的长度不相等5.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中不正确的是()A.AB与CD共线B.AC与BD相等C.AD与CB是相反向量D.AB与CD模相等6．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，（1）与BC相等的向量有；（2）与OB长度相等的向量有；（3）与DA共线的向量有．7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是．并对你的判断举例说明．8．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：（1）与AO相等的向量有；（2）写出与AO共线的向有；（3）写出与AO的模相等的有；（4）向量AO与CO是否相等？答．9．O是正六边形ABCDE的中心，且OAa，OBb，ABc，在以A，B，C，D，E，O为端点的向量中：（1）与a相等的向量有；（2）与b相等的向量有；（3）与c相等的向量有10．在如图所示的向量a，b，c，d，e中（小正方形的边长为1），是否存在：（1）是共线向量的有；（2）是相反向量的为；（3）相等向量的的；（4）模相等的向量．11．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量FE共线的有．ABCDEFABCEDFOOABCDEF（2）与向量DF的模相等的有．（3）与向量ED相等的有．12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于图中的P点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A走到与它相邻的B？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？必修4第2章平面向量§2.2向量的线性运算重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义．经典例题：如图，已知点,,DEF分别是ABC三边,,ABBCCA的中点，求证：0EAFBDC．.当堂练习：1．a、b为非零向量，且||||||abab，则（）A．a与b方向相同B．abC．abD．a与b方向相反2．设()()ABCDBCDAa，而b是一非零向量，则下列各结论：①//ab；②aba；③abb；④abab，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②④D．①③3．3．在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则MCMBMA等于（）A．OB．MD4C．MF4D．ME44．已知向量ba与反向，下列等式中成立的是（）A．||||||babaB．||||babaC．||||||babaD．||||||baba5．若abc化简3(2)2(3)2()abbcab（）A．aB．bC．cD．以上都不对6．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP=（）A．().(0,1)ABADB．2().(0,)2ABBCC．().(0,1)ABADD．2().(0,)2ABBC7．已知||||3OAa，||||3OBb，∠AOB=60，则||ab__________。8．当非零向量a和b满足条件时，使得ba平分a和b间的夹角。9．如图，D、E、F分别是ABC边AB、BC、CA上的中点，则等式：①FDDAAF0②FDDEEF0③DEDABE0④ADBEAF0FEDCBA10．若向量x、y满足23,32xyaxyb，a、b为已知向量，则x=__________；y=___________．11．一汽车向北行驶3km，然后向北偏东60方向行驶3km，求汽车的位移.12.如图在正六边形ABCDEF中，已知：AB=a,AF=b,试用a、b表示向量BC,CD,AD，BE.必修4第2章平面向量§2.3平面向量的基本定理及坐标表示重难点：对平面向量基本定理的理解与应用；掌握平面向量的坐标表示及其运算．考纲要求：①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法，减法于数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．经典例题：已知点(,0),(2,1),(2,),(6,2)AxBxCxDx．求实数x的值，使向量AB与CD共线；当向量AB与CD共线时，点,,,ABCD是否在一条直线上？当堂练习：1．若向量a=(1,1),b=(1,－1),c=(－1,2)，则c等于（）A．21a23bB．21a23bC．23a21bD．23a+21b2．若向量a=(x－2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（）A．x=1,y=3B．x=3,y=1C．x=1,y=－5D．x=5,y=－13．已知向量),cos,(sin),4,3(ba且a∥b，则tan=（）A．43B．43C．34D．344．已知ABCD的两条对角线交于点E，设1eAB，2eAD，用21,ee来表示ED的表达式（）A．212121eeB．212121eeC．212121eeD．212121ee5．已知两点P１（－１，－6）、Ｐ２（3，０），点P（－37，ｙ）分有向线段21PP所成的比为λ，则λ、ｙ的值为（）A．－41，8B．41，－8C．－41，－8D．4，816．下列各组向量中：①)2,1(1e②)5,3(1e③)3,2(1e)7,5(2e)10,6(2e)43,21(2e有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是（）A．①B．①③C．②③D．①②③7．若向量a=（2，m）与b=（m，8）的方向相反，则m的值是．8．已知a=（2，3），b=（-5，6），则|a+b|=，|a-b|=．9．设a=（2，9），b=（λ,6），c=(-1,μ),若a+b=c,则λ=,μ=.10．△ABC的顶点A(2，3)，B(－4，－2)和重心G(2，－1)，则C点坐标为.11．已知向量e1、e2不共线，(1)若AB=e1－e2，BC=2e1－８e2，CD=3e1＋３e2，求证：A、B、D三点共线.(2)若向量λe1－e2与e1－λe2共线，求实数λ的值.12．如果向量AB=i－2j,BC=i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.必修4第2章平面向量§2.4平面向量的数量积重难点：理解平面向量的数量积的概念，对平面向量的数量积的重要性质的理解．考纲要求：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量数量积于向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．经典例题：在ABC中，设,,1,3,2kACAB且ABC是直角三角形，求k的值．当堂练习：1．已知a=（3，0），b=（-5，5）则a与b的夹角为（）A．450B、600C、1350D、12002．已知a=（1，-2），b=（5，8），c=（2，3），则a·（b·c）的值为（）A．34B、（34，-68）C、-68D、（-34，68）3．已知a=（2，3），b=（-4，7）则向量a在b方向上的投影为（）A．13B、513C、565D、654．已知a=（3，-1），b=（1，2），向量c满足a·c=7，且bc，则c的坐标是（）A．（2，-1）B、（-2，1）C、（2，1）D、（-2，-1）5．有下面四个关系式（1）0·0=0；（2）（a·b）c=a（b·c）；（3）a·b=b·a；（4）0a=0，其中正确的个数是（）A、4B、3C、2D、16．已知a=（m-2，m+3），b=（2m+1，m-2）且a与b的夹角大于90°，则实数m（）A、m＞2或m＜-4/3B、-4/3＜m＜2C、m≠2D、m≠2且m≠-4/37．已知点A（1，0），B（3，1），C（2，0）则向量BC与CA的夹角是。8．已知a=（1，-1），b=（-2，1），如果（)()baba，则实数=。9．若|a|=2，|b|=2，a与b的夹角为45°，要使kb-a与a垂直，则k=10．已知a+b=2i-8j，a—b=-8i+16j，那么a·b=11．已知2a+b=（-4，3），a-2b=（3，4），求a·b的值。12．已知点A（1，2）和B（4，-1），试推断能否在y轴上找到一点C，使ACB=900？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由。必修4第2章平面向量§2.5平面向量的应用重难点：通过向量在几何、物理学中的应用能提高解决实际问题的能力．考纲要求：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题于其他一些实际问题．经典例题：如下图，无弹性的细绳,OAOB的一端分别固定在,AB处，同质量的细绳OC下端系着一个称盘，且使得OBOC，试分析,,OAOBOC三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？当堂练习：1．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若ABPCPBPA，则点P与△ABC的位置关系是（）A、点P在△ABC内部B、点P在△ABC外部C、点P在直线AB上D、点P在AC边上2．已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则△ABC的形状为（）GCOBAGEDCBAA、正三角形B、钝角三角形C、等腰直角三角形D、等腰锐角三角形3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则的值为（）A、300B、600C、900D、12004．某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为（）A、v-aB、a-vC、v+aD、v5．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为km/h。6．两个粒子a，b从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为Sa=（3，-4），Sb=（4，3），（1）此时粒子b相对于粒