空间向量的数量积运算练习题

课时作业(十五)[学业水平层次]一、选择题1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝a·a；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有()A．①②B．②③C．③④D．②④【解析】由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④运算正确．【答案】D2．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角〈a，b〉＝()A．30°B．45°C．60°D．以上都不对【解析】∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝32，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝14.【答案】D3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连结AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A.PC→与BD→B.DA→与PB→C.PD→与AB→D.PA→与CD→【解析】用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故PA→·CD→＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故DA→·PB→＝0，排除B，同理PD→·AB→＝0，排除C.【答案】A4.如图3­1­21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()图3­1­21A．2BA→·AC→B．2AD→·DB→C．2FG→·AC→D．2EF→·CB→【解析】2BA→·AC→＝－a2，故A错；2AD→·DB→＝－a2，故B错；2EF→·CB→＝－12a2，故D错；2FG→·AC→＝AC→2＝a2，故只有C正确．【答案】C二、填空题5．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.【解析】|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos60°＝61，∴|2a－3b|＝61.【答案】616．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】由题意知a＋λb·λa－2b0，cos〈a＋λb，λa－2b〉≠－1.即a＋λb·λa－2b0，a＋λb·λa－2b≠－|a＋λb||λa－2b|⇒λ2＋2λ－20.∴－1－3λ－1＋3.【答案】(－1－3，－1＋3)7.如图3­1­22，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．图3­1­22【解析】不妨设棱长为2，则|AB→1|＝BB1→－BA→，BM→＝BC→＋12BB1→，cos〈AB1→，BM→〉＝BB1→－BA→·BC→＋12BB1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°.【答案】90°三、解答题8．如图3­1­23在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.图3­1­23【证明】设A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c.则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.而A1O→＝A1A→＋AO→＝A1A→＋12(AB→＋AD→)＝c＋12(a＋b)，BD→＝AD→－AB→＝b－a，OG→＝OC→＋CG→＝12(AB→＋AD→)＋12CC1→＝12(a＋b)－12c.∴A1O→·BD→＝c＋12a＋12b·(b－a)＝c·(b－a)＋12(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋12(b2－a2)＝12(|b|2－|a|2)＝0.∴A1O→⊥BD→.∴A1O⊥BD.同理可证A1O→⊥OG→.∴A1O⊥OG.又OG∩BD＝O且A1O⊄面BDG，∴A1O⊥面GBD.9．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)BC→·ED1→；(2)BF→·AB1→；(3)EF→·FC1→.【解】如图所示，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)BC→·ED1→＝AD→·(EA1→＋A1D1→)＝AD→·12AA1→－AB→＋AD→＝b·12c－a＋b＝|b|2＝42＝16.(2)BF→·AB1→＝(BA1→＋A1F→)·(AB→＋BB1→)＝AA1→－AB→＋12AD→·(AB→＋AA1→)＝c－a＋12b·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.(3)EF→·FC1→＝(EA1→＋A1F→)·(FD1→＋D1C1→)＝12AA1→－AB→＋12AD→·12AD→＋AB→＝12c－a＋12b·12b＋a＝12(－a＋b＋c)·12b＋a＝－12|a|2＋14|b|2＝2.[能力提升层次]1．(2014·中山高二检测)已知边长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1→·AC→的值为()A．－1B．0C．1D．2【解析】AO1→＝AA1→＋A1O1→＝AA1→＋12(A1B1→＋A1D1→)＝AA1→＋12(AB→＋AD→)，而AC→＝AB→＋AD→，则AO1→·AC→＝12(AB→2＋AD→2)＝1，故选C.【答案】C2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．45°【解析】由于AB→＝AC→＋CD→＋DB→，则AB→·CD→＝(AC→＋CD→＋DB→)·CD→＝CD→2＝1.cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|AB→|·|CD→|＝12⇒〈AB→，CD→〉＝60°.【答案】B3．(2014·长沙高二月考)已知正三棱柱ABC­DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则CNCF＝________.【解析】设CNCF＝m，由于AE→＝AB→＋BE→，MN→＝12BC→＋mAD→，又AE→·MN→＝0，得12×1×1×－12＋4m＝0，解得m＝116.【答案】1164．如图3­1­24，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．图3­1­24【解】∵AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→，∴|AC1→|＝AB→＋AD→＋AA1→2＝AB→2＋AD→2＋AA1→2＋2AB→·AD→＋AB→·AA1→＋AD→·AA1→.∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴〈AB→，AD→〉＝90°，〈AB→，AA1→〉＝〈AD→，AA1→〉＝60°，∴|AC1→|＝1＋4＋9＋21×3×cos60°＋2×3×cos60°＝23.