实验八测量误差与不确定度实验报告

基础物理实验基础物理实验基础物理实验基础物理实验实验八实验八实验八实验八测量误差和不确定度测量误差和不确定度测量误差和不确定度测量误差和不确定度实验报告实验报告实验报告实验报告学院：学院：学院：学院：地球与空间科学学院地球与空间科学学院地球与空间科学学院地球与空间科学学院姓名：姓名：姓名：姓名：1100012623110001262311000126231100012623张晓晨张晓晨张晓晨张晓晨指导教师：指导教师：指导教师：指导教师：杨杨杨杨景景景景时间：时间：时间：时间：2012201220122012年年年年10101010月月月月18181818日日日日一、目的要求（1）学习关于物理实验和测量误差的基本知识（2）学习对测量结果不确定度进行估计的基本方法（3）正确使用长度测量仪器及对测量结果的不确定度进行估计二、实验原理（一）物理实验和测量误差1、测量误差测量结果减去被测量的真值所得的差，称为测量误差，简称误差。测量误差＝测量值－真值＝随机误差＋系统误差2、系统误差系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，测量值对真值的偏离（包括大小和方向）总是相同的，这类误差称为系统误差。系统误差的特点是恒定性，不能用增加测量次数的方法使它减小。3、随机误差由于偶然的、不确定的因素造成的每一次测量值的无规律的涨落，测量值对真值的偏离时大时小、时正时负，不能由上一次测量值预测下一次测量值的大小，这类误差称为随机误差。随机误差的特点是它的随机性，如果在相同的宏观条件下，对某一物理量进行多次测量，当测量次数足够大时，便可以发现这些测量值呈现出一定的规律性——统计规律性，即它们服从某种概率分布。概率分布的性质用概率密度函数)(xρ来描述，其中x代表测量误差，是一种随机变量。概率密度函数)(xρ满足归一条件：1)(=∫+∞∞−dxxρ（8.1）实践表明，大多数随机误差可以认为近似服从正态分布：222/21)(σσπρxex−=0,+∞∞−σx（8.2）除了近似服从正态分布的随机误差以外，还有服从其他分布的随机误差，其中和我们关系密切的就是均匀分布。有些一起的误差在其允差范围内可以认为服从均匀分布。对均匀分布有：σ3=e（8.3）（二）测量结果的不确定度1、什么是不确定度为了估计测量结果的可靠程度，我们把测量结果写成NNY∆±=（8.4）式中：Y为待测物理量；N为该物理量的测量值，它既可以是单次的世界测量值，也可以是相同实验条件下多次测量的算术平均值，还可以是公式计算得到的间接测量值；N∆是一个恒正的量，称为“不确定度”，代表测量值N不确定的程度。相对误差的定义是真值测量误差相对误差=相对不确定度的定义是NN∆=，即测量值不确定度相对不确定度2、不确定度的估计方法（1）直接测量结果不确定度的估计①只测一次的情况可以用均匀分布的模型来处理：σ3=e（8.5）②相同条件下多次测量的情况用算术平均值代表多次测量的最佳值：∑==niiNnN11（8.6）任一测量值的标准差Nσ可以由贝塞尔公式近似的给出：1)(12−−=∑=nNNniiNσ（8.7）算术平均值的标准差为)1()(12−−==∑=nnNNnniiNNσσ（8.8）（2）间接测量结果的不确定度的估计若间接测量值N为互相独立的直接测量值zyx,,的函数，即),,(zyxfN=（8.9）则N的标准差Nσ由以下公式给出：222)()()(zyxNzfyfxfσσσσ∂∂+∂∂+∂∂=（8.10）（三）有效数字，数值书写和运算规则不确定度的有效数字只取一位。对于加减类型的运算，运算结果的有效数字位数应由这个具有最大不确定度的数来决定，所以运算结果的末位应与具有最大不确定度的数的末位取齐。对于乘除类型的运算，运算结果的有效数字位数应与有效数字位数最少的数取齐。（四）数据处理方法列表、作图、最小二乘法等若变量yx,满足直线方程xaay10+=（8.11）实际测得的一组数据为),...2,1(,niyxii=，用最小二乘法拟合有：()221xxyxxya−−=（8.12）xaya10−=（8.13）其中：∑==niixnx11，∑==niiyny11iniiyxnxy∑==11，∑==niixnx1221三、实验内容（一）用游标卡尺测量钢杯含钢体积并计算其结果的不确定度（二）用螺旋测径器（即千分尺）测量小钢球体积并计算其结果的不确定度四、仪器规格表8-1实验仪器规格仪器名称量程分度值允差游标卡尺mm125mm02.0mm02.0±螺旋测径器mm25~0mm01.0mm004.0±五、实验数据记录与处理（一）表8-2中字母的含义：外径D，内径d，高H，深h。表8-2测量钢杯含钢体积的数据表项目cmD/cmd/cmH/cmh/零点读数000.00=D000.00=d000.00=H000.00=h12.8061.9984.4744.28822.8062.0004.4804.30032.8062.0084.4764.26042.8062.0084.4804.28052.8062.0024.4804.26062.8062.0064.4784.256平均值2.8062.00374.4784.274平均值的标准差0.0000.00170.0010.0074修正零点后的平均值2.8062.00374.4784.274测量结果：cmeDD001.0322=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=′σσcmedd002.0322=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=′σσcmeHH002.0322=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=′σσcmehh007.0322=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=′σσcmDD001.0806.2±=′±σcmdd002.0004.2±=′±σcmHH002.0478.4±=′±σcmhh007.0274.4±=′±σ计算结果：()322211.144cmhdHDV=−=π()()()()322222205.022cmdhdDHDhdHDV=+++=σσσσσ305.021.14cmVV±=±σ（二）零点读数cmd0010.00−=表8-3测量小钢球直径的数据表测量次数123456平均值平均值的标准差修正零点后平均值cmd/1.26851.26901.26881.26881.26851.26901.268770.0000921.26977测量结果：cmedd0002.0322=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=′σσcmdd0002.02698.1±=′±σ计算结果：330720.161cmdV==π3220005.021cmddV=⎟⎠⎞⎜⎝⎛′=σπσ30005.00720.1cmVV±=±σ六、思考与讨论(一）思考题声明：以下结果均属作者所有，公式全部由作者用公式编辑器手动生成。仅供老师批改，请不要复制、转载！1、①1位②4位③2位④8位2、改错①kg1030.0的有效数字是3位。改：有效数字应为4位②km000036.0的有效数字是6位。改：有效数字应为2位③)(01.0435.10cm±。改：)(01.044.10cm±④mkm10012±。改：)(1.00.12km±或()m41001.020.1×±⑤)(50017500m±。改：)(5.05.17km±3、单位变换①tmggkgm36310)001.0750.1(10)001.0750.1(10)001.0750.1()001.0750.1(−±=×±=×±=±=②kmmmmmcmh524110)02.054.8(10)02.054.8(10)02.054.8(10)02.054.8()02.054.8(−−×±=×±=×±=×±=±=µ③nssmsst963108.1108.1108.18.1×=×=×==µ4、分别按极限误差和标准差写出下列间接测量量的不确定度公式①CBAN321−+=222941CBANσσσσ++=CBANeeee321++=②361dVπ=222dVdσπσ=dVdee2π=③[]hrHRV224−=π()()()()22222222hrHRVrrhRRHσσσσσ+++=()()()()[]hrHRVerrheeRRHee22224+++=π④0211ρρmmm−=()()242121242122021mmmmmmmmσσρσρ−+−=()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−=21221122120mmemmmemmmeρρ⑤224Tlgπ=23222214⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=TlgTlTσσπσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=TlgeTleTe322214π⑥222lhg=232222⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=thtthgσσσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=3222theteethg5、改错按极限误差：①改为beaeeleeEebalE32++++=λρλρ②改为deAedA3=按标准差①改为2241dlLσσσ+=②改为222010⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=tLLtLLσαασσ③改为2020202022sinsinsinsincos0⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=hhhhhhhRgahhRgaθθσθσθθσσρσσσθρ6、计算下列结果①cmN)02.056.84(±=②cmV310)001.0000.1(1×±=③Ω±=)184(R④0008.03663.1±=ν7、计算VHD,,的测量结果和标准差解：cmD506.1=cmD4106−×=σcme001.0=cmD001.0=′σcmD)001.0506.1(±=∴cmH561.3=cmH009.0=σcmH)009.0561.3(±=∴HDV24π=()()322202.02cmDHDHDV=+=σσσ3343.6cmV=3)02.034.6(cmV±=∴8、比较下列三个量的误差哪个大解：0004.011=llσ004.022=llσ02.033=llσ故3l误差最大，2l次之，1l最小9、综合练习表8-4刚体转动实验实验数据表gm/10.0015.0020.0025.0030.0035.0040.00)10/(1222−−⋅st0.5350.9881.4241.7872.1692.5522.932①在坐标纸上作出21tm−关系图，检验是否为线性（说明：本题中作者用Origin软件作图，同时用软件和最小二乘法同时用软件和最小二乘法同时用软件和最小二乘法同时用软件和最小二乘法进行拟合并比较结果）可见线性相关。②下面用最小二乘法计算相应的1k、截距和相关系数770.1=x25=y757.32=x7252=y14.52=xy()()()()64.12121221=−−−=−−=∑∑==niiniiixxyyxxxxyxxyk638.211=−=xkya()()9993.0]][[22221=−−−=yyxxyxxyr与软件计算结果相吻合③下面用最小二乘法计算相应的2k、截距和相关系数()()()()07903.0121222=−−−=−−=∑∑==niiniiixxyyxxxxyxxyk206.022−=−=xkya()()9993.0]][[22222=−−−=yyxxyxxyr与软件计算结果相符由以上可知21rr=即相关系数表示的是两组数据的线性相关程度，与如何取横纵轴无关事实上，容易由计算得出21kkr=（8.14）