1.5.1-1.5.3定积分的概念(12.18)

1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。Oxyaby=f(x)一.求曲边梯形的面积x=ax=b因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）．P放大再放大PPy=f(x)baxyOA1AA1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A4y=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn——以直代曲,无限逼近（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：],nn,n1n[,],ni,n1i[,],n2,n1[],n1,0[n1n1inix每个区间的长度为过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作.S,,S,,S,Sni21n1n2nknnxOy2xy例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。35.1图ox1y2xyn1ini45.1图n1inix12xyyo轴的直线段近似用平行于就是从图形上看值处的函数等于左端点不妨认为它近似地个常数近似等于一的值变化很小可以认为函数上在区间很小时即很大当如图记近似代替x,.n1ifn1i,,xxf,ni,n1i,xΔ,n,35.1.xxf22235.1图ox1y2xyn1ini45.1图n1inix12xyyo.n,,2,1in1n1ixΔn1ifSΔSΔ,,SΔSΔ,ni,n1i,.45.12'iii'i则有以直代曲即在局部小范围内近似地代替的面积用小矩形上间在区这样图边地代替小曲边梯形的曲n1n1ixΔn1ifSΔSS45.1,232n1in1in1i'inn为中阴影部分的面积图由求和n1n1n102n1n1n222231n21n161n2n1nn13.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值从而可得.61n2n1n1n21222可以证明.31n211n1131limn1ifn1limSlimS,Sn211n1131S,0xΔ,n,,55.1,20,,8,41,04nn1innnn从而有趋向于时于趋向即趋向于无穷大当可以看到图等份等分成分别将区间取极限55.1图oy2xy1xy2xy1xoy2xy1xoy2xy1xo.势数值上看出这一变化趋我们通过下表还可以从n1,0的等分数区间nSS的近似值51225612864321684233235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0?,ξfni,n1iξ?31,?S,nifnin,,2,1ini,n1ixxf,ii2情况又怎样作为近似值的函数值处取任意吗这个值也是若能求出的值吗用这种方法能求出处的函数值点上的值近似地等于右端区间在如果认为函数中近似代替在探究.31ξfn1limxΔξflimS,ξfξni,n1ixxf,inn1iinii2都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明.,15.1,值的方法求出其面积似代替、求和、取极也可以采用分割、近我们所示的曲边梯形对如图一般地abxyxfyoafbf15.1图1.当n很大时，函数在区间上的值，可以用()近似代替A.B.C.D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif0f练习2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间上的近似值等于（）A.只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值C.可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)((1iiiixxfC1,iixx练习3131Sn）（4、逼近△x0SnSy=x2xyO1y=x2y=x2xyO1xyO1n∞61211)1(21132223nnnnnnSn或nnnnnnnn1211611216122231211nnSn1()3n31S探究思考思考1：已知物体运动路程与时间的关系怎样求物体的运动速度？例如S(t)=3t2+2.则v(t)=S´(t)=6t+0.思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？S=vt直接求出探究思考思考3：如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=－t2+2。那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程S是多少呢？2()2vtt=-+Ovt12图中矩形面积和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上就等于相应曲边梯形面积.nnSSlim探究思考思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S由直线t=0，t=1，v=0和曲线v=－t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？:,11,01个小区间将它分成点个分上等间隔地插入在时间区间分割nn.11,,,2,1,1,1,1,,1,2,1,1,0nninitnininiinnnininnn其长度为个区间为记第.n1n1initΔ,n,,2,1ini,n1ii,1,n1n,,n2,n1,n1,0其长度为个区间为记第,SΔ,,SΔ,SΔ:1,n1n,,n2,n1,n1,0n21的路程分别记作上行驶把汽车在时间段.SΔSn1ii则显然有.2n1in1ivn1i,,2ttv,ni,n1i,tΔ,n222处函数值左端点不妨认为它近似地等于数近似地等到于常的值变化很小函数上在区间很小时即很大当近似代替就是汽车在时从物理意义看,于是以匀速代变速即在局部范围内作匀速行驶处的速度认为它近似地以时刻不妨上时间速度变化很小间段,,2n1in1ivn1i,)n,,2,1i(ni,n1i2tΔn1ivSΔSΔ2'iin12n1i2n1i2n2n1n1i2n1n1in1n1n1022.n,,2,1in2n1n1i2①tΔn1ivSΔS3n1in1i'in得由求和①21n21n12223261n2n1nn13.2n211n1131的近似值从而得到S.2n211n1131SSn.ξvn1limtΔξvlimS,ξvni,n1iξni,n1i,n1iinn1ii0tΔii并且我们有作匀速行驶处的速度以任意时刻上近似地小时时间间隔认为汽车在每个我们可以事实上n1innnnn1ivn1limSlimS,S2n211n1131S,0tΔ,n4从而有趋向于时趋向于即大趋向于无穷当取极限.352n211n1131limn求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取i[xi1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(i)而宽为x的小矩形面积f(i)x近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1ix1lim()niniSfx1()niiSfx(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb一、定积分的定义11()()nniiiibafxfn小矩形面积和S=如果当n∞时，S无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即baf(x)dxni10limf(i)xi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.1()lim()ninibafxdxfnba即定积分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。1()lim()ninibafxdxfnba即Oabxy)(xfySbaf(x)dx；按定积分的定义，有(1)由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为sbav(t)dt。Oab()vvttv定积分的定义：1()lim()ninibafxdxfnba即112001()3Sfxdxxdx根据定积分的定义右边图形的面积为1xyOf(x)=x213S1SD2SD2()2vtt=-+Ovt12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005()(2)3Svtdttdt根据定积分的定义左边图形的面积为3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有bababaduufdttfdxxf)()()(4．规定：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxfbadxxf)(是一个和式的极限是一个确定的常数注：2.当xfini)(1的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及i点的取法无关。f(x)[a,b](2)定积分的几何意义：Oxyabyf(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地，当ab时，有baf(x)dx0。abyf(x)Oxy1()baSfxdxabyg(x)Oxy()ygx探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?()ygx12()()bbaaSSSfxdxgxdx2