第6章第1节高数

第六章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算第二节数量积、向量积、混合积第三节曲面及其方程第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程第七节综合举例第一节向量及其线性运算三、空间直角坐标系一、向量的概念二、向量的线性运算四、向量的坐标表达式及其运算五、向量的模与方向余弦的坐标表达式向量：既有大小又有方向的量.向量表示：1M2Ma模长为1的向量.零向量：模长为0的向量.0||a21MM||向量的模：向量的大小.单位向量：一、向量的概念或或21MM自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.a向径：abaa空间直角坐标系中任一点与原点构成的向量.OMM[1]加法：cbaabc（平行四边形法则或三角形法则）二、向量的线性运算abcb特殊地：若a‖babc||||||bac分为同向和反向bac||||||bac向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：.abba（2）结合律：cbacba)().(cba[2]减法)(babaabbbcbabac)(babaab多个向量的加法（多边形法则）在空间任取一点A，作,aAA11,aAA221A1A1a2A2a3A3a1-nA1-nanAnan1aa,aAAnn1-n，则这n个向量之和为aaAAn1n,0)1(a与a同向，||||aa,0)2(0a,0)3(a与a反向，||||||aaaa2a21[3]向量与数的乘法设是一个数，向量a与的乘积a规定为数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：)()(aaa)(（2）分配律：aaa)(baba)(.abab0a1，使一的实数分必要条件是：存在唯的充平行于，那末向量设向量定理两个向量的平行关系按照向量与数的乘积的规定，||aa上式表明：一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量.同方向的单位向量，表示与非零向量设a.e|a|aa＝eaeaOxQP向量在x轴上的投影，记为xxOPOPPrj）（或其中xPrjOPOPcos＝当时，20xPrjOP0向量称为向量在x轴上的投影向量或分向量。OPOQOP当时，2xPrjOP0例1设向量与单位向量的夹角为求在方向上的投影与投影向量。re，65且，＝10re解向量在方向上的投影为re35＝rPrje＝65cosr向量在方向上的投影向量为ree35rx横轴y纵轴z竖轴定点o空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向.三、空间直角坐标系ijkⅦxyozxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧxyz四、向量的坐标表达式及计算RHPoMNQK设OMrOMOPPNNMOPOQOR设i,j,kOPxOQyORzijkrOMxyz上式称为向量的坐标分解式。则则分向量从而建立了点、向量及有序数组之间的一一对应关系：ijk(,,)MrOMxyzxyz(,,)xyz称为向量的坐标，记作也称为点M的坐标，记作(,,).MxyzrOM(,,)rxyz即：空间任一点与该点的向经有相同的坐标。起点是原点的向量，它的坐标等于终点的坐标起点不在原点呢？如以为起点，以为终点的向量呢？),,(111zyxM),,(222zyxN特殊点:)0,0,0(O),,(zyxMxyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC坐标轴上的点,,:PQR坐标面上的点,,:ABC原点:有两个坐标为零有一个坐标为零xyzo1MPNQR2M以kji,,分别表示沿zyx,,轴正向的单位向量.ijk12xyzMMaaiajak向量在轴上的投影x向量在轴上的投影y向量在轴上的投影z12xxax12yyay12zzazkzzjyyixxMM)()()(12121221kzzjyyixxMM)()()(12121221按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：,,,kajaiazyx向量的坐标：,,,zyxaaa向量的坐标表达式：},,{zyxaaaa},,{12121221zzyyxxMM特殊地：},,{zyxOM向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式},,,{zyxaaaa},,,{zyxbbbb},,{zzyyxxbabababa},,{zzyyxxbabababa},,{zyxaaaa;)()()(kbajbaibazzyyxx;)()()(kbajbaibazzyyxx.)()()(kajaiazyx{,,},{,,},xyzxyzaaaabbbbab两个向量共线的充要条件是对应坐标成比例∥或yzxxyzbbbaaaabzyxzyxaaabbb,,,,zzyyxxababab设),,(1111zyxM、),,(2222zyxM为空间两点xyzo1MPNQR2M?21MMd在直角21NMM及直角PNM1中，使用勾股定理知,222212NMPNPMd空间两点间的距离公式.21221221221zzyyxxMM空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为,),,(zyxM)0,0,0(OOMd.222zyx解111{,,}AMOMOAxxyyzz设),,(zyxM为直线上的点，例2设),,(111zyxA和),,(222zyxB为两已知点，而在AB直线上的点M分有向线段AB为两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数)1(，即MBAM，求分点的坐标.ABMxyzo222{,,}MBOBOMxxyyzz由题意知：MBAM},,{111zzyyxx},,,{222zzyyxx1xx)(2xx1yy)(2yy1zz)(2zz,121xxx,121yyy,121zzzM为有向线段AB的定比分点.M为中点时，,221xxx,221yyy.221zzz非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,0,0.0xyzo1M2M五、方向角与方向余弦xyzo1M2M设cos||aaxcos||aaycos||aaz向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.222||zyxaaaaPQR向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM12,,xyzMMaaaa0222zyxaaa当时，,cos222zyxxaaaa,cos222zyxyaaaa.cos222zyxzaaaa向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222方向余弦的特性：azyxeaaaaaaaa},,{}cos,cos,{cos即：以向量的方向余弦为坐标的向量就是与该向量同方向的单位向量从上看出向量有两种表示方法，且二者间可互求。向量a几何表示：大小，方向a，，坐标表示：zyxa,a,a①从几何表示推出坐标表示有公式cos||aaxcos||aaycos||aaz②从坐标表示推出几何表示有公式222||zyxaaaa,cos222zyxxaaaa,cos222zyxyaaaa.cos222zyxzaaaa例3求平行于向量kjia676的单位向量的分解式.解所求向量有两个，一个与同向，一个反向a222)6(76||a,11||aa0a,116117116kji或0a||aa.116117116kji例4设kjim853，kjin742，kjip45，求向量pnma34在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kji,15713kji在x轴上的投影为13xa,在y轴上的分向量为j7.向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）小结一、填空：1、向量是_________的量；2、向量的___________叫做向量的模；3、___________的向量叫做单位向量；4、_____________的向量叫做零向量；5、与_____无关的向量称为自由向量；6、平行于同一直线的一组向量叫做_________，三个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做____________；7、两向量___________，我们称这两个向量相等；8、两个模相等、____________的向量互为逆向量；9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点构成____________；练习题10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点，则终点构成____________________；11、要使baba成立，向量ba,应满足________________________；12、要使baba成立，向量ba,应满足__________________.二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.三、把ABC的BC边五等分，设分点依次为4321,,,DDDD，再把各分点与点A连接，试以aBCcAB,表示向量ADADADAD4321,,和.练习题答案一、1、既有大小,又有方向；2、大小；3、模等于1；4、模等于零；5、起点；6、共线向量,共面向量；7、模相等且方向相同；8、方向相反；9、半径为1的球面；10、距离等于2的两点；11、a垂直于b；12、a与b同向.三、)51(1acAD,)52(2acAD,).54(),53(43acADacAD1、下列各点所在象限分别是：_______;1,3,2d________4,3,2c________4,3,2b_________3,2-,1a在、；在、；在、；在、；轴的对称点是，关于轴的对称点是，关于的对称点是轴，关于的对称点是关于平面的对称点是，关于平面的对称点是关于平面、点_________________________________________,________)1,2,3(2zyxzoxyozxoyp一、填空题练习题3、点)5,3,4(A在xoy平面上的射影点为___________,在yoz面上的射影点为__________，在zox轴上的射影点为_________，在轴上x的射影点为________，在轴上x的射影点为______，在轴上z的射影点为_______;4、已知空间直角坐标系下，立方体的4个顶点为),,(aaaA，),,(aaaB，),,(aaaC和),,(aaaD，则其余顶点分别为________