等差数列知识点及类型题详解(含精细化答案)

1数列——等差数列【考纲解读】理解等差数列的概念。掌握等差数列的通项公式na及前n项和公式。能根据具体条件识别等差数列，并灵活运用等差数列的性质解决问题。了解等差数列通项公式与一次函数、等差数列前n项和与二次函数的关系。【知识储备】知识点1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。知识点2、等差数列的通项公式如果等差数列na的首项是1a，公差是d，则有daann1（d是常数）或nnnnaaaa112，叠加得到等差数列的通项为：dnaan)1(1该公式整理后是关于n的一次函数。例1：已知na是一个等差数列，请在下表中填入适当的数或式子。知识点3、等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2baA或baA2例2：已知na是等差数列。（1）有3122aaa，那么7352aaa是否成立？9152aaa呢？为什么？（2）)1(211nnaaann是否成立？（3）)0(2kknknaaann是否成立？据此你能得出什么结论？知识点4、等差数列的前n项和2)(1nnaanS将dnaan)1(1带入可得dnnnaSn2)1(1该公式整理后是关于n的二次函数。新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3a5ad-592-6.51ana2例3：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列na的前n项和nS。（1）；，，8n18481aa（2）7.0185.141daan，，。知识点5、等差数列的判定方法定义法：若daann1（d是常数）或nnnnaaaa112，则数列na是等差数列。等差中项：若212nnnaaa或)1(2kknknaaann，则数列na是等差数列。通项公式法：若通项公式BAnan为一次函数，则数列na是等差数列，且公差Ad，首项BAa1。前n项和法：若前n项和BnAnS2n，则数列na是等差数列，且公差Ad2，首项BAa1。例4：已知数列na的前n项和nnSn32412，求这个数列的通项公式。知识点6、等差数列的性质①等差数列任意两项间的关系：如果na是等差数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公差为d，则有dmnaamn)(——该公式为等差数列的递推公式。对于等差数列na，若qpmn，则qpmnaaaa也就是：23121nnnaaaaaa例5：已知na是等差数列。有，，722283aaa则9a。na是等②若数列差数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等差数列。如下图所示：③等差数列的前n项和的性质：若项数为*2nn，则21nnnSnaa，且SSnd偶奇，1nnSaSa奇偶．若项数为*21nn，则2121nnSna，且nSSa奇偶，1SnSn奇偶kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S3213（其中nSna奇，1nSna偶）。例6：设nS是等差数列na的前n项和，若735S，则4a。【题型划归】题型一、利用递推公式daann1或dmnaamn)(求值。例1、设数列na的首项)N(2,711naaann且满足，则17a。万能解题模板：【现炒现卖】在数na中，23a，1221nnaa，则101a的值为（）A．49B．50C．51D．52题型二、利用等差中项)0(2kknknaaann求值。例2、已知na为等差数列，1282aa则5a等于（）A.4B.5C.6D.7万能解题模板：【现炒现卖】等差数列na的前三项依次为6a，52a，23a，则a等于（）A.-1B.1C.-2D.2题型三、利用等差数列性质qpmn，有qpmnaaaa求值。例3、已知等差数列}{na中，12497,1,16aaaa则=。万能解题模板：【现炒现卖】若等差数列na中，37101148,4,aaaaa则7a=。题型四、已知其中几项的值，求公差d、通项公式na、前n项和nS、及nS的最大（小）值等。例4、等差数列na的前n项和为nS，若＝，则，43231Saa。万能解题模板：4【现炒现卖】等差数列na中，3524aa，22a，则7a=。题型五、已知前k项和的值及后k项和的值，求项数n或者nS。例5、在等差数列na中，78,1521321nnnaaaaaa，155nS，则n。万能解题模板：【现炒现卖】等差数列na中，已知12310aaaap，98nnnaaaq，则其前n项和nS=。题型六、已知nS，利用11(1)(2)nnnSnaSSn≥求通项公式na。例6、已知数列}{na的前n项和322nSn，求数列}{na的通项公式na。万能解题模板：【现炒现卖】已知数列na中，，31a前n项和1)1)(1(21nnanS。求证：数列na是等差数列。题型七、已知kS，kS2，kS3的关系，利用kS，kkSS2，kkSS23成等差数列求其中几个量。例7、设nS为等差数列na的前n项和，4S＝14，30812SS，则8S＝。万能解题模板：【现炒现卖】5设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa。题型八、利用等差数列的前n项和的性质：①若项数为*2nn，则21nnnSnaa，且ndSS奇偶，②若项数为*21nn，则2121nnSna，且nSSa奇偶，（其中nSna奇，1nSna偶）．例8、设nS是等差数列na的前n项和，若735S，则4a（）A．8B．7C．6D．5万能解题模板：【现炒现卖】若等差数列共有12n项*Nn，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数为（）A.5B.7C.9D.11课后强化巩固【基础巩固】1、等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（）A.92B.47C.46D.452、在等差数列na中，35a，26a，则1054aaa。3、已知数列的通项25nan,则其前n项和为nS。4、记等差数列na的前n项和为nS，若42S，204S，则该数列的公差n等于（）A.7B.6C.3D.25、等差数列{}na中，已知311a，452aa，33na，则n为（）A.48B.49C.50D.516、等差数列-2,1,4，…的前n项和为（）A.5321nnB.7321nnC.5321nnD.7321nn7、已知等差数列na满足099321aaaa，则（）A.0991aaB.0991aaC.0991aaD.5050a[8、数列na的前n项和23nSnn＝，则na＝___________。9、在等差数列}{na中,5,801da,求nS的最大值。610、三个数成等差数列,和为18,积为66,求这三个数。【能力加强】1、首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d＞38B.d＜3C.38≤d＜3D.38＜d≤32、在数列}{na中，31a，且对任意大于1的正整数n，点),(1nnaa在直03yx上，则na=_____________。3、设nS为等差数列na的前n项和，4S＝14，30SS710，则9S。4、等差数列na中，11a,1453aa，其前n项和nS=100,则n=（）A.9B.10C.11D.125、设Sn是等差数列na的前n项和，若5935,95SSaa则（）A.1B.－1C.2D.216、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项7、等差数列na的前n项和为nS，若2462,10,SSS则等于（）A.12B.18C.24D.428、一个等差数列中15a=33，25a=66，则35a=__________。9、等差数列na的前n项和记为nS.已知.50,302010aa（1）求通项na；（2）若nS=242，求n.10、已知数列{}na是一个等差数列，且21a，55a。（1）求{}na的通项na；（2）求{}na前n项和nS的最大值。【尖子训练】1、如果1a，2a，…，8a为各项都大于零的等差数列，公差0d，则（）A.1a8a45aaB.1a8a45aaC.1a8a=45aaD.1a+8a4a+5a2、若两个等差数列na和nb的前n项和分别是nnST，，已知73nnSnTn，则55ab等于（）A.7B.23C.278D.2143、已知等差数列na中，qap，)(qppaq，则______qpa。74、等差数列na，nS为数列na的前n项和，已知77S，7515S，nT为数列nSn的前n项和，求nT。5、已知na是等差数列，21a，183a；nb也是等差数列，422ba，3214321aaabbbb。（1）求数列nb的通项公式及前n项和nS的公式；（2）数列na与nb是否有相同的项？若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。6、设等差数列na的首项1a及公差d都为整数，前n项和为nS。（1）若11a=0,14S=98,求数列na的通项公式；（2）若1a≥6，11a＞0，14S≤77，求所有可能的数列na的通项公式.8解析【知识储备】例1、答案：例2、答案：三个问均成立，结论是：事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。例3、答案：（1）882881n）（aaS（2）25.581225,251n1）（nnaaSdaan。例4、答案：1211324111Sa，21241d，12521nan。例5、答案：159a。例6、答案：54a。【题型划归】例1、❶关键词：2,711nnaaa。❷通过关键词提取到的关键信息：21daann。❸逻辑思维分析：由71a，21daann，所以此数列为等差数列，可用dnaan)1(1求daa)117(117。❹答题过程：71a，21daann可求2521177)117(117）（daa。万能解题模板：第1步：利用递推公式求出公差d；第2步：看题目中是否有首项1a，若没有则利用递推公式dmnaamn)(求出na，若有则用通项公式dnaan)1(1求出na。【现炒现卖】答案：C；解析：5.0d，515.0)3101(2101a。例2、❶关键词：等差数列，?12582aaa，。❷通过关键词提取到的关键信息：角标2582。❸逻辑思维分析：通过角标关系可知5a是82aa、的等差中项，由kkn2nnaaa可得2825aaa。❹答题过程：62122825aaa。万能解题模板：3a5ad-5293.55.8